nel primo caso, con riferimento alla figura, poniamo \(x=AG\), con \(0\le x \le r\), in modo sia \(GF=x-r/2\): in tal modo, il segno di \(GF\), e quindi il volume del cono \(CFC’\) di cui rappresenta l’altezza, è negativo se \(x<r/2\), positivo se \(r/2\le x \le r\). Il solido di rotazione è formato dal cilindro di raggio \(CG=\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( r-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\) e altezza \(GH=2(r-x)\), a cui si sommano/sottraggono due coni con lo stesso raggio e altezza \(GF\). Pertanto, il volume \(V(x)\) del solido di rotazione è dato da:
\[V\left( x \right)=2\pi \left( 2r-{{x}^{2}} \right)\left[ \left( r-x \right)+\frac{1}{3}\left( x-\frac{r}{2} \right) \right]=\]\[=\frac{\pi }{3}\left( 4{{x}^{3}}-13r{{x}^{2}}+10{{r}^{2}}x \right)\quad .\]
Derivando \(V(x)\) e analizzandone zeri e segno, si ha, nei limiti di accettabilità per \(x\): \[V'\left( x \right)=\frac{2\pi }{3}\left( 6{{x}^{2}}-13rx+5{{r}^{2}} \right)=0\leftrightarrow x=\frac{r}{2}\] valore che corrisponde al massimo cercato.
Nel secondo caso, con riferimento alla figura, poniamo \(x=DF=EG\), con \(0< x\le h\), e sia \(z=BF\). Il solido si ottiene dall’unione del cilindro di raggio \(x\) e altezza \(DE\) con il cono dello stesso raggio e altezza \(z\), cui va sottratto il cono di raggio \(x\) e altezza \(BG=BF+FG\). Poiché, per similitudine tra i triangoli \(ADE\) e \(ABC\), si ricava \(DE=a(h-x)/x\), per il volume \(V(x)\) si ha l’espressione:
\[V\left( x \right)=\pi {{x}^{2}}\left[ \frac{a\left( h-x \right){{x}^{2}}}{h}+\frac{z{{x}^{2}}}{3}-\frac{1}{3}\left( z+\frac{a\left( h-x \right){{x}^{2}}}{h} \right){{x}^{2}} \right]=\]\[=\frac{2a\pi }{3h}\left( h{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)\] e pertanto, derivando e considerando le condizioni su \(x\), si ha: \[V'\left( x \right)=\frac{2a\pi }{3h}\left( 2hx-3{{x}^{2}} \right)=0\to x=\frac{2}{3}h\] valore che corrisponde al massimo cercato.
Massimo Bergamini
