la funzione in questione è definita, nei limiti del problema, per \(0\le x\le \pi/2\), e poiché: \[AT=\cos x\quad HT=\cos x\sin x\quad AH={{\cos }^{2}}x\quad AB=1\] si ha: \[\frac{AH}{AB+HT}=\frac{{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x\sin x}=\]\[=\frac{1+\cos 2x}{2+\sin 2x}\quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\quad .\] Poiché la derivata della funzione (che nel suo dominio naturale è periodica di periodo \(\pi\)): \[\frac{-2\left( 1+2\sin 2x+\cos 2x \right)}{{{\left( 2+\sin 2x \right)}^{2}}}\]
si annulla so
lo in corrispondenza di \(x=\frac{\pi }{2}\) (minimo, di valore \(0\)) e \(x=\pi -\arcsin \left( \frac{4}{5} \right)\) (massimo, di valore \(\frac{4}{3}\)), nell’intervallo di interesse la funzione è monotona decrescente, da \(1\) a \(0\), pertanto l’equazione in questione ammette, per \(0\le x\le \pi/2\), una sola soluzione per ogni valore di \(m\) tale che \(0\le m\le 1\).
Massimo Bergamini
