Parabole e circonferenze

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

mi aiuti a risolvere questo quesito:

 

Si considera la parabola \(y=x^2-2x+1\) e la sua simmetrica rispetto alla retta \(y=1\). Trovare l’area della regione finita di piano limitata dalle due curve e trovare l’equazione della circonferenza in essa inscritta bitangente alle due curve.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

la parabola \(y=x^2-2x+1\) e la sua simmetrica rispetto alla retta \(y=1\), di equazione \(y=-x^2+2x+1\), si intersecano nei punti \(A(2;1)\) e \(B(0;1)\): la regione da esse delimitata ha un’area \(S\) pari al doppio di quella del segmento parabolico definito dalla corda \(AB\) in ciascuna delle due parabole congruenti, cioè (teorema di Archimede) il doppio dei \(2/3\) dell’area del rettangolo in cui è inscritto ciascun segmento: \[S=2\cdot \frac{2}{3}\cdot 2=\frac{8}{3}\quad .\]

La circonferenza inscritta nella regione suddetta, tangente ciascuna parabola in due punti simmetrici rispetto all’asse \(x=1\), può essere individuata nel fascio delle circonferenze di centro \((1;1)\) (centro obbligato per ragioni di simmetria) e raggio \(r\), cioè le circonferenze di equazione \((x-1)^2+(y-1)^2=r^2\), imponendo che l’intersezione tra la circonferenza e una o l’altra delle due parabole avvenga per un valore unico dell’ordinata \(y\); mettendo a sistema circonferenza e parabola \(y=x^2-2x+1=(x-1)^2\), si ha: \[y+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{r}^{2}}\to {{y}^{2}}-y+1-{{r}^{2}}=0\] e poiché il discriminante di tale equazione è nullo (soluzione unica) se e solo se \(1-4+4r^2=0\), cioè per \(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\), si ha che la circonferenza cercata ha equazione: \[4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-8x-8y+5=0\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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