Piramide e prisma inscritto

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

ho trovato difficoltà con questo quesito.

 

Si consideri una piramide triangolare regolare di base \(ABC\) e vertice \(V\). Lo spigolo di base e l’altezza della piramide sono lunghi rispettivamente \(a\) e \(a/2\). Per un punto \(P\) della mediana \(AM\) del triangolo di base si conduca il piano parallelo alla faccia \(VBC\). Si proietti ortogonalmente la sezione di questo piano con la piramide sulla faccia \(VBC\): in questo modo si ottiene un prisma. Si determini la posizione di \(P\) per la quale tale prisma ha volume massimo. Si calcoli quindi il valore di \(a\) per cui detto volume massimo è \(4,5\;cm^3\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

con riferimento alla figura, poniamo \(PA=x\), con \(0<x<\frac{\sqrt{3}}{2}a\), e ricaviamo le dimensioni della sezione \(HGJ\) in funzione di \(x\), sfruttando la sua similitudine con la faccia \(CBV\) della piramide e la similitudine dei triangoli \(AJP\) e \(AVM\), dopo aver ricavato l’altezza \(MV\) di \(CBV\) come ipotenusa del triangolo rettangolo \(VOM\), avente \(VO=a/2\) per ipotesi e \(OM=\frac{1}{3}AM=\frac{\sqrt{3}}{6}a\) (essendo \(O\) il baricentro della base regolare \(ABC\)), per cui \(VM=\frac{\sqrt{3}}{3}a\): \[\frac{HG}{CB}=\frac{AP}{AM}\to HG=\frac{2\sqrt{3}}{3}x\quad \] \[\frac{JP}{VM}=\frac{AP}{AM}\to JP=\frac{2}{3}x\quad .\]

Pertanto, l’area della base \(HGJ\) del prisma è \({{S}_{HGJ}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}{{x}^{2}}\). L’altezza del prisma rispetto a tale base è la distanza \(DJ’\) tra i piani paralleli delle sue basi, cioè la proiezione di \(JJ’=PM\) con il seno dell’angolo \(\alpha\) che la faccia \(CBV\) forma col piano di base \(ABC\), cioè:      \[DJ’=JJ’\sin \alpha =\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a-x \right)\frac{VO}{VM}=\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a-x \right)\frac{\sqrt{3}}{2}\] e quindi il volume \(V(x)\) del prisma è dato da: \[V\left( x \right)=DJ’\cdot S=\frac{{{x}^{2}}}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}a-x \right)\quad .\]

Derivando e analizzando il segno della derivata, si ricava: \[V’\left( x \right)=x\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a-x \right)\to V’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}a\]che è il valore di \(x\) corrispondente al volume massimo. Tale volume massimo è dato da \({{V}_{\max }}=\frac{\sqrt{3}}{54}{{a}^{3}}\), e affinchè tale valore corrisponda a \(4,5\;cm^3\) si deve avere: \[\frac{\sqrt{3}}{54}{{a}^{3}}=\frac{9}{2}\to a=3\sqrt{3}\,cm\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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