Tangenti

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

non riesco a impostare questi problemi, mi potrebbe aiutare? (pag.1700, nn.718, 723, Matematica.blu 2.0 vol. V).

 

1) Data la parabola \(y=(a-1)x^2-x+b\):

a) determina \(a\) e \(b\) in modo che il grafico passi per \(A(0;3)\) e la tangente nel suo punto di ascissa \(x=1\) sia parallela all’asse \(x\);

b) calcola in quale punto del grafico determinato la tangente è inclinata di \(225^\circ\) rispetto all’asse \(x\).

 

2) Determina il valore di \(a\) affinché la retta \(r:\;y-2x=0\) sia tangente alla curva di equazione \(y=f(x)=\ln(x-1)+a\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

nel primo caso, le condizioni richieste equivalgono alle seguenti: \[y\left( 0 \right)=b=3\quad y’\left( 1 \right)=2\left( a-1 \right)-1=0\to a=\frac{3}{2}\] per cui la parabola in questione ha equazione \(y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x+3\). L’inclinazione richiesta per la retta tangente equivale ad un coefficiente angolare pari alla tangente di \(45^\circ\), cioè \(m=1\), pertanto: \[y’\left( x \right)=x-1=1\leftrightarrow x=2\to P\left( 2;3 \right)\quad .\]

Nel secondo caso, si deve avere che la derivata della funzione abbia valore \(2\), e ciò si verifica se e solo se \[\frac{1}{x-1}=2\to x=\frac{3}{2}\] e inoltre la funzione e la retta devono assumere lo stesso valore per \(x=3/2\), cioè:

\[\ln \left( \frac{3}{2}-1 \right)+a=3\to -\ln 2+a=3\to a=3+\ln 2\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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