Tangenti e parametri

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

sono in difficoltà con questi problemi (pag.1701, nn.721, 725, 726, Matematica.blu 2.0 vol. V).

 

1) Trova i coefficienti \(a\), \(b\), \(c\) nell’equazione \(y=a{{\cos }^{2}}x+b\sin x+c\) in modo che il grafico passi per i punti \((0;1)\) e \(\left( \frac{\pi }{2};2 \right)\) e abbia nel primo punto per tangente la retta di equazione \(y=3x+1\).

 

2) Trova i valori di \(a\) e \(b\) in modo che le due curve di equazioni \[y=\frac{1}{x}+{{x}^{2}}+1\quad \quad y=a\ln \left( 2x-1 \right)+b\] siano tangenti nel punto \(P(1;3)\). (Suggerimento. Due curve sono tangenti in un punto se in esso hanno la stessa retta tangente.)

 

3) Data la funzione \(y=\frac{a{{x}^{2}}+bx-1}{x-c}\), trova \(a\), \(b\), \(c\) sapendo che, nel punto \((0;1)\), il grafico ha per tangente una retta parallela alla retta \(x-2y+8=0\) e che ha per asintoto obliquo una retta parallela alla retta \(4x-y=0\). Traccia il grafico probabile della funzione.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

nel primo caso, poiché \(y’=-2a\cos x\sin x+b\cos x\) e quindi \(y’(0)=b\), \(y(0)=a+c\) e \(y\left( \frac{\pi }{2} \right)=b+c\), si hanno le condizioni simultanee: \(b=3\), \(a+c=1\) e \(b+c=2\), da cui: \(a=2\), \(b=3\), \(c=-1\).

Nel secondo caso, la prima funzione vale \(3\) in \(x=1\) e quindi anche la seconda deve assumere in \(x=1\) lo stesso valore da cui \(b=3\); inoltre, la derivata della prima, cioè \(y’=-{{x}^{-2}}+2x\), vale \(1\) in \(x=1\), e tale deve essere il valore anche della derivata della seconda, cioè \(y’=\frac{2a}{2x-1}\), da cui \(2a=1\), cioè \(a=\frac{1}{2}\).

Nell’ultimo caso, il passaggio dal punto \((0;1)\) implica subito che sia \(1/c=1\), cioè \(c=1\), e
poiché il limite per \(x\to \infty\) di \(y/x\) è \(a\), la richiesta che l’asintoto obliquo abbia pendenza \(4\) implica \(a=4\). Derivando la funzione con i valori di \(a\) e \(c\) così determinati, si ha: \[y’=\frac{4{{x}^{2}}-8x-b+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\to y’\left( 0 \right)=-b+1\] e poiché in \(x=0\) la tangente deve avere pendenza \(1/2\) si ha necessariamente \(b=\frac{1}{2}\). L’equazione della funzione che soddisfa le condizioni richieste è pertanto: \[y=\frac{8x+x-2}{2\left( x-1 \right)}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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