Un massimo relativo e assoluto

Ricevo da Patrizia la seguente domanda:

 

Applicando la definizione di massimo, come posso verificare che la funzione \(y=\frac{1}{2}\sin 2x+\cos x\) ha in \(x=\frac{\pi }{6}\) un punto di massimo relativo ed assoluto?

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Patrizia,

la derivata della funzione, cioè \(y’=\cos 2x-\sin x=-2{{\sin }^{2}}x-\sin x+1\), si annulla per \(\sin x=1/2\) o \(\sin x =-1\), cioè, nel periodo \(2\pi\) della funzione, per \(x=\frac{\pi }{6}\), \(x=\frac{5\pi }{6}\) e \(x=\frac{3\pi }{2}\); inoltre, nel periodo \(2\pi\), la derivata è positiva ovunque eccetto che nell’intervallo \(\frac{\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{6}\), il che dimostra che la funzione ha in \(x=\frac{\pi }{6}\) un massimo relativo, di valore

\(y=\frac{3\sqrt{3}}{4}>1\):

poiché \(y\left( 0 \right)=y\left( 2\pi  \right)=1\), considerando la crescenza\decrescenza della funzione deducibile dal segno della derivata così come precedentemente indicato, si può affermare che il suddetto massimo relativo è anche assoluto.

 

Massimo Bergamini

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