Una funzione definita a tratti

Ricevo da Vilma la seguente domanda:

 

In classe abbiamo avuto perplessità relativamente al seguente esercizio (n.24, pag.1401, Manuale blu 2.0 di matematica, mod.U).

 

Data la funzione: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2^x+a \quad x<0 \\ x^2-bx \quad x\ge 0 \end{array} \right.\]

 

a) trova \(a\) e \(b\) in modo che il suo grafico passi per i punti \((-4;\frac{17}{16})\) e \((3;-3)\);

b) traccia il grafico di \(f(x)\) e da esso deduci il codominio;

c) traccia il grafico di \(y=|f(x)|\) e di \(y=f(|x|)\);

d) risolvi le equazioni \(f(|x|)=5\) e \(f(x)=\frac{3}{2}\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

Cara Vilma,

il passaggio dai punti assegnati implica: \[{{2}^{-4}}+a=\frac{17}{16}\to a=1\quad \quad 9-3b=-3\to b=4\] per cui la funzione \(f(x)\) risulta essere: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2^x+1 \quad x<0 \\ x^2-4x \quad x\ge 0 \end{array} \right.\] e il suo codominio è l’intervallo \(\left[ -4;+\infty  \right[\).

Le funzioni \(y=|f(x)|\) e \(y=f(|x|)\) hanno le seguenti espressioni: \[|f(x)|=\left\{\begin{array}{lll} 2^x+1 \quad x<0 \\ -x^2+4x \quad 0\le x\le 4 \\ x^2-4x \quad x>4  \end{array} \right.\] \[f(|x|)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+4x \quad x<0 \\ x^2-4x \quad x\ge 0 \end{array} \right.\quad .\]

 

L’equazione \(f(|x|)=5\) equivale quindi alle seguenti equazioni: \[{{x}^{2}}+4x-5=0\wedge x<0\to x=-5\] \[{{x}^{2}}-4x-5=0\wedge x\ge 0\to x=5\] mentre l’equazione \(f(x)=\frac{3}{2}\) equivale alle seguenti:  \[{{2}^{x}}+1=\frac{3}{2}\wedge x<0\to x=-1\]\[{{x}^{2}}-4x=\frac{3}{2}\wedge x\ge 0\to x=\frac{4+\sqrt{22}}{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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