Un’antenna parabolica

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

la prego di spiegarmi questo quesito (n.65, pag.342, Matematica.blu 2.0, vol.3):

 

Il radiotelescopio  In figura è rappresentata l’antenna parabolica da 32 metri di diametro che, insieme alla grande Croce del Nord, costituisce uno degli strumenti di osservazione radio-astronomica della stazione di Medicina, presso Bologna, gestita dall’INAF (Istituto Nazionale di AstroFisica). Nel fuoco (punto \(F\)) del paraboloide è collocato il rilevatore delle onde radio provenienti dallo spazio profondo.

a. Dimostra che, in generale, se \(M\) è il punto medio del segmento \(OF\) che congiunge vertice e fuoco, e \(AB\) è la corda definita dalla retta per \(M\) perpendicolare all’asse della parabola, si ha la relazione: \[\frac{\overline{AB}}{\overline{OF}}=2\sqrt{2}\quad .\]

b. Posto che sia \(\overline{AB}=32\ m\), ricava l’equazione della parabola nel riferimento \(Oxy\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

consideriamo nel riferimento \(Oxy\) una generica parabola di equazione \(y=a{{x}^{2}}\), con \(a>0\). Si ha: \[F\left( 0;\frac{1}{4a} \right)\to M\left( 0;\frac{1}{8a} \right)\to \frac{1}{8a}=a{{x}^{2}}\leftrightarrow x=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}a}\] per cui \(\overline{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}a}\), e quindi: \[\frac{\overline{AB}}{\overline{OF}}=\frac{4a}{\sqrt{2}a}=2\sqrt{2}\quad .\] In particolare, se \(\overline{AB}=32\), si ha \(a=\frac{1}{32\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{64}\), cioè la parabola ha equazione

\[y=\frac{\sqrt{2}}{64}{{x}^{2}}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione