L'esperto di matematica
Un luogo geometrico
Elisa propone il seguente quesito di geometria analitica:
Nel piano \(xOy\) si considerino le circonferenze \(\gamma\) e \(\gamma ^\prime\) di centro \(O\) e raggi \(8\) e \(2\). Detti \(P\) un punto di \(\gamma\) e \(I\hat{O}P=\theta\), essendo \(I(1,0)\), indicare con \(Q\) il punto di intersezione della semiretta \(OP\) con \(\gamma^\prime\) e con \(R\) il simmetrico di \(Q\) rispetto all'asse delle ascisse. Determinare il luogo descritto dal punto medio \(M\) del segmento \(PR\) allorché \(P\) descrive \(\gamma\).
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poiché si ha \[P\left( 8\cos \theta ,8\sin \theta \right)\quad Q\left( 2\cos \theta ,2\sin \theta \right)\]\[R\left( 2\cos \theta ,-2\sin \theta \right)\quad M\left( 5\cos \theta ,3\sin \theta \right)\] ne consegue che il luogo descritto da \(M\) al variare di \(\theta\) si ottiene per eliminazione di \(\theta\) dalle coordinate di \(M\) stesso, dopo aver moltiplicato la \(x\) per \(3\) e la \(y\) per \(5\) e tenendo presente l’identità goniometrica fondamentale: \[9{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=225{{\cos }^{2}}\theta +225{{\sin }^{2}}\theta \to \]\[\to \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\] luogo che rappresenta un’ellisse canonica di semiassi \(a=5\) e \(b=3\).
