Discontinuità e non derivabilità

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

ho delle difficoltà con alcuni problemi, potrebbe aiutarmi? (pag.1742, nn.70, 73, 74, Matematica.blu 2.0).

 

Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità delle seguenti funzioni e indicane il tipo.

\[y=\left\{\begin{array}{ll} {{e}^{\left| x \right|}}\quad\quad x<1 \\ \frac{1-x}{x-2}\quad x\ge 1\wedge x\ne 2 \end{array} \right.\]            \[y={{e}^{x}}\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\] \[y=\frac{\sqrt[3]{1-x}}{3x}\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

nel primo caso, la funzione risulta discontinua (II specie) in \(x=2\), dove presenta un asintoto verticale, e in \(x=1\) (I specie), dove si ha: \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\left| x \right|}}=e\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-x}{x-2}=0\quad .\] Riguardo alla derivabilità, questa viene meno ovviamente nei punti di discontinuità, ma anche in \(x=0\), dove si ha un punto angoloso, essendo la derivata della funzione coincidente con \(-e^x\) per \(x<0\), con \(e^x\) per \(0<x<1\), per cui: \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y’=-1\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y’=1\quad .\]

Nel secondo caso, la funzione è definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\), ma in \(x=1\) presenta un punto di non derivabilità (cuspide), essendo:      \[y’=\frac{{{e}^{x}}\left( 2+3\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \right)}{\sqrt[3]{x-1}}\to \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y’=-\infty ,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y’=+\infty \quad .\]

Nell’ultimo caso, la funzione è continua in tutto \(\mathbb{R}\) eccetto che in \(x=0\) (II specie), dove presenta un asintoto verticale. La derivata: \[y’=\frac{2x-3}{9{{x}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}}\] è tale che \(\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,y’=-\infty\), per cui in \(x=1\) si ha un punto di non derivabilità del tipo a tangente verticale.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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