Problemi di max/min con triangoli

Ricevo da Ilaria la seguente domanda:

 

Gentile professore,

avrei bisogno di aiuto su due esercizi (pag.1821, n.278 e pag.1822, n.281, Matematica.blu 2.0).

 

1) Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio \(r\), determina quello di area massima.

 

2) Fra tutti i triangoli rettangoli nei quali la somma di un cateto e dell’ipotenusa misura \(2b\), determina quello di area massima.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Ilaria,

nel primo caso, detto \(ABC\) il triangolo isoscele di vertice \(C\), sia \(x=CH\) l’altezza relativa alla base \(AB\): il centro \(O\) della circonferenza appartiene all’altezza \(CH\) e si ha, per \(0<x<2r\): \(AB=2HB=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( r-x \right)}^{2}}}=2\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\). Risulta pertanto che l’area del triangolo è data dalla funzione  \(S\left( x \right)=x\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\): studiando segno e zeri della derivata di \(S(x)\) nell’intervallo di accettabilità della \(x\) si ha: \[S’\left( x \right)=\frac{x\left( 3r-2x \right)}{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}}\to S’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{3}{2}r\] che, come si deduce dall’andamento del segno di \(S’\), corrisponde al massimo cercato. Si osservi che a tale valore corrisponde un triangolo isoscele con angoli alla base di \(60^\circ\), cioè un triangolo equilatero.

Nel secondo caso, posto \(x\) uno dei due cateti del triangolo rettangolo, l’ipotenusa, per ipotesi, misura \(2b-x\), con \(0<x<2b\), per cui il cateto restante misura \(\sqrt{{{\left( 2b-x \right)}^{2}}-{{x}^{2}}}=2\sqrt{{{b}^{2}}-bx}\), e quindi l’area del triangolo è data dalla funzione  \(S\left( x \right)=x\sqrt{{{b}^{2}}-bx}\): studiando segno e zeri della derivata di \(S(x)\) nell’intervallo di accettabilità della \(x\) si ha: \[S’\left( x \right)=\frac{b\left( 2b-3x \right)}{2\sqrt{{{b}^{2}}-bx}}\to S’\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{2}{3}b\] che, come si deduce dall’andamento del segno di \(S’\), corrisponde al massimo cercato.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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