partendo dall’equazione generale di una circonferenza di centro \((x_0;y_0)\) e raggio \(r\), la condizione che sia \(y_0=2\) implica: \[{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{r}^{2}}\] e la condizione di appartenenza del punto \(A(5;-2)\) implica: \[{{\left( 5-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}={{r}^{2}}\to {{r}^{2}}=x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+41\] da cui l’equazione di una famiglia di circonferenze dipendenti dal parametro \(x_0\): \[{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+41\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2{{x}_{0}}x-4y+10{{x}_{0}}-37=0\quad .\] Ricaviamo ora le intersezioni di tali circonferenze con l’asse \(x\) ponendo \(y=0\) nell’equazione: \[{{x}^{2}}-2{{x}_{0}}x+10{{x}_{0}}-37=0\to {{x}_{1,2}}={{x}_{0}}\pm \sqrt{x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+37}\] da cui si ricava che che la distanza tra dette intersezioni, cioè la lunghezza della corda in questione, è data da: \[\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=2\sqrt{x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+37}\quad .\] La condizione che tale lunghezza sia \(8\) si traduce nella seguente:
\[2\sqrt{x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+37}=8\to x_{0}^{2}-10{{x}_{0}}+21=0\to {{x}_{0}}=7\vee {{x}_{0}}=3\] e a tali valori corrispondono le circonferenze \({{\Gamma }_{1}}\) e \({{\Gamma }_{2}}\) di equazioni: \[{{\Gamma }_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-14x-4y+33=0\]\[{{\Gamma }_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-4y-7=0\quad .\]
Massimo Bergamini
