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Una funzione dispari

Linda chiede aiuto in merito al seguente problema: Determinare l'equazione della funzione polinomiale di terzo grado dispari, il cui grafico passa per il punto \(P(-1;-2)\) e ha in questo punto tangente parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
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Ricevo da Linda la seguente domanda:   Gentile professore, non riesco a risolvere questo esercizio. Come si deve fare?   Determinare l'equazione della funzione polinomiale di terzo grado dispari, il cui grafico passa per il punto \(P(-1;-2)\) e ha in questo punto tangente parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Grazie.   Le rispondo così:   Cara Linda, la funzione in questione, per essere dispari, cioè invariante rispetto alla simmetria centrale di centro l’origine degli assi, deve avere la forma \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+bx\), e la sua derivata di conseguenza \(f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+b\): le condizioni poste dal problema si traducono pertanto nella seguente coppia di equazioni per i coefficienti \(a\) e \(b\): \[-a-b=-2\quad \wedge \quad 3a+b=1\to\]\[\to a=-\frac{1}{2}\quad \wedge \quad b=\frac{5}{2}\] pertanto la funzione cercata è la seguente: \[f\left( x \right)=-\frac{1}{2}{{x}^{3}}+\frac{5}{2}x\quad .\] Massimo Bergamini
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