Ricevo da Sara la seguente domanda:
Buongiorno,
ho bisogno di un aiuto nel risolvere i seguenti problemi (nn.287, 295, 298, 303, pagg.1822-1825, Manuale blu 2.0 di matematica, Vol.5):
1) Fra tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza, trova quello di area massima.
2) Sia \(ABCD\) un trapezio isoscele di area \(s^2\) e con gli angoli adiacenti alla base di \(45^\circ\). Determina l'altezza del trapezio in modo che abbia perimetro minimo.
3) Data una semicirconferenza con diametro \(\overline{AB}=2r\), traccia la tangente \(t\) in \(A\) e, preso sulla semicirconferenza un punto \(P\), indica con \(C\) la sua proiezione su \(t\). Trova \(P\) in modo che la somma \(\overline{PB}+\overline{PC}\) sia massima.
4) Sulla semicirconferenza di diametro \(\overline{AB}=2r\), traccia la corda \(AC\). Indica con \(P\) il suo punto medio e con \(K\) la proiezione ortogonale di \(P\) su \(AB\). Determina l'angolo \(B\hat{A}C\) in modo che sia massimo il segmento \(PK\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Sara,
nel primo caso, posto \(AB=2r\) il diametro e \(C\) un punto della semicirconferenza, sia \(x=B\hat{A}C\), con \(0\le x\le \pi /2\). Si ha \(AC=2r\cos x\), \(BC=2r\sin x\), per cui l’area è \(S\left( x \right)={{r}^{2}}\sin 2x\), la cui derivata è \(S'\left( x \right)=2{{r}^{2}}\cos 2x\), e poiché \(S'\left( x \right)=0\leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}\to x=\frac{\pi }{4}\), osservando il segno di \(S'\left( x \right)\) si conclude che tale valore corrisponde al massimo cercato, cioè il triangolo di area massima è quello isoscele rettangolo.
Nel secondo caso, detta \(h\) l’altezza del trapezio isoscele e \(b\) la base minore, si ha \({{s}^{2}}=h\left( b+h \right)\), per cui \(b=\frac{\left( {{s}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}{h}\). Posto che \(0<h\le s\), si ha il perimetro \[p\left( h \right)=2h+2\sqrt{2}h+2\frac{\left( {{s}^{2}}-{{h}^{2}} \right)}{h}=2\sqrt{2}h+2\frac{{{s}^{2}}}{h}\] per cui, derivando e studiando zeri e segno della derivata, si ha:\[2\sqrt{2}-\frac{2{{s}^{2}}}{{{h}^{2}}}=0\to h=\frac{s}{\sqrt[4]{2}}\] valore che corrisponde al minimo cercato.
Nel terzo caso, posto \(x=P\hat{A}C\), con \(0\le x\le \pi /2\), si ha \(PC=2r\cos^2 x\), \(PB=2r\sin x\), per cui la funzione \(l\left( x \right)=PC+PB=2r\left( \sin x+1-{{\sin }^{2}}x \right)\) ha derivata \(l'\left( x \right)=2r\cos x\left( 1-2\sin x \right)\), che si annulla per \(\sin x=1/2\to x=\frac{\pi }{6}\), valore corrispondente al massimo cercato, e tale che \(AP=r\sqrt{3}\).
Infine, nell’ultimo caso, posto sempre \(x=B\hat{A}C\), con \(0\le x\le \pi /2\), si ha \(l\left( x \right)=PK=AP\sin x=\frac{r}{2}\sin 2x\), per cui, derivando, si ottiene il valore di \(x\) corrispondente al massimo di \(l(x)=PK\): \[l'\left( x \right)=r\cos 2x=0\leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\quad .\]
Massimo Bergamini
