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Funzioni integrali

Rispondo a Ferdinando in merito ad un problema tipo esame di Stato, relativo alla deduzione grafica di una funzione integrale.
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Ricevo da Ferdinando la seguente domanda: Gentile professore, mi aiuta a risolvere questo esercizio (n.70, pag.22, Verso la seconda prova di matematica 2016)?   In figura è disegnato il grafico \(\gamma \) della funzione \(g(x)\). È costituito dalla semicirconferenza di diametro \(AB\), con \(A(-4-4\sqrt{2};0)\), dall’arco di circonferenza \(BC\), dall’arco \(CD\) di parabola di vertice \(C\) e dall’arco \(DE\) di parabola di vertice \(E\). Indichiamo con \(f(x)\) la primitiva della funzione \(g(x)\) tale che \(f(-4-4\sqrt{2})=0\). a.Discuti la derivabilità della funzione \(g(x)\) nei punti \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) e determina gli intervalli in cui la funzione \(f(x)\) è crescente e quelli in cui volge la concavità verso l’alto. b. Calcola i valori \(f(-4)\), \(f(0)\) e \(f(4)\). c. La funzione \(f(x)\) ammette estremi relativi o assoluti? Ammette punti di flesso? Motiva la risposta.   Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Ferdinando, in base alle informazioni fornite, possiamo scrivere l’espressione della funzione \(g(x)\) esplicitamente: \[g(x)=\left\{\begin{array}{llll} -\sqrt{-{{x}^{2}}-4\left( \sqrt{2}+2 \right)x-16\left( \sqrt{2}+1 \right)} \quad -4(\sqrt{2}+1)\le x\le -4 \\ \sqrt{16-{{x}^{2}}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad -4<x\le 0 \\ -x^2+4 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0<x\le 1 \\ \frac{1}{3}{{\left( x-4 \right)}^{2}} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1<x\le 4\end{array} \right.\] Si osserva facilmente che nei punti \(A\) e \(B\) la funzione non è derivabile, poiché presenta tangente verticale, mentre nei punti \(C\) e \(D\) lo è, perchè in \(C\) sia da destra che da sinistra le funzioni derivate tendono a \(0\), mentre in \(D\) le espressioni delle derivate sinistra (\(-2x\)) e destra (\(2(x-4)/3\)) tendono entrambe allo stesso limite, cioè \(-2\). La funzione integrale \(f(x)\), che vale \(0\) in \(A\), assume valori negativi crescenti in valore assoluto fino a \(B\), e da qui comincia a crescere poiché si aggiungono via via aree del sottografico positive; quindi la funzione è crescente per \(-4<x<4\). Poiché la derivata seconda di \(fx)\) corrisponde alla derivata prima di \(g(x)\), possiamo dire che il grafico di \(f(x)\) volge la concavità verso l’alto nei tratti in cui la derivata di \(g(x)\) è positiva, cioè \(g(x)\) è crescente: \(-4-2\sqrt{2}<x<0\). I valori di \(f(x)\) richiesti corrispondono ad aree calcolabili direttamente o per via integrale: \[f\left( -4 \right)=-\frac{1}{2}\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=-4\pi \quad f\left( 0 \right)=f\left( -4 \right)+\frac{1}{4}\pi {{\left( 4 \right)}^{2}}=0\] \[f\left( 4 \right)=f\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+4 \right)}dx+\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{4}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}dx=0+\frac{11}{3}+3=\frac{20}{3}\quad .\] Osservando il grafico di \(g(x)=f’(x)\), possiamo dire che in \(x=-4\)  \(g(x)\) ha un punto di minimo relativo (la derivata è nulla, ed è prima negativa poi positiva) e anche assoluto, dal momento che a partire da \(x=-4\) la funzione è crescente.   Massimo Bergamini
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