Un integrale improprio

Ricevo da Giorgia la seguente domanda:

 

Salve professore,

ho delle difficoltà a risolvere questo problema (n.454, pag.2068, Manuale blu 2.0 di matematica, vol.5).

 

Data la funzione \(y=\frac{1}{{{\left( ax+b \right)}^{2}}}\), determina \(a\) e \(b\) sapendo che la funzione ha un asintoto verticale di equazione \(x=\frac{1}{2}\) e che l’area della regione del primo quadrante, con \(x\ge 1\), compresa tra il suo grafico, la retta \(x=1\) e l’asse \(x\), è uguale a \(\frac{1}{2}\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Giorgia,

la prima condizione equivale alla richiesta che il denominatore della frazione algebrica sia nullo per \(x=\frac{1}{2}\), cioè: \(a=-2b\). La seconda condizione equivale alla richiesta che l’integrale improprio tra \(1\) e \(+\infty\) della funzione valga \(1/2\), cioè: \[\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{{{\left( b-2bx \right)}^{2}}}dx}=\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{1}^{k}{\frac{1}{{{b}^{2}}{{\left( 1-2x \right)}^{2}}}dx}=\]\[=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{1-2x} \right]_{1}^{k}=\frac{1}{2}\] da cui: \[\frac{1}{2{{b}^{2}}}\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-2k}+1 \right)=\frac{1}{2}\to \frac{1}{2{{b}^{2}}}=\frac{1}{2}\leftrightarrow b=\pm 1\] e pertanto si ha o \(b=1\) e \(a=-2\), o \(b=-1\) e \(a=2\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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