Prezzo in discesa

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

la mia professoressa ha proposto un problema che non riesco a svolgere.

 

Un’azienda acquista un macchinario al costo di \(80000\) euro . Si stima che il prezzo del macchinario diminuisca del \(15\%\) all’anno. Sia \(V_n\) il valore del macchinario \(n\) anni dopo l’acquisto (essendo \(n=0\) l’anno dell’acquisto).
a) Esprimi \(V_n\) in funzione di \(n\).

b) Stabilisci dopo quanti anni il macchinario avrà perso più del \(50\%\) del suo valore.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia:

una diminuzione del \(15\%\) equivale ad una moltiplicazione per \(0,85=17/20\), quindi il prezzo scende secondo una progressione geometrica di ragione \(17/20\): \[{{V}_{n}}={{V}_{0}}{{\left( \frac{17}{20} \right)}^{n}}=80000{{\left( \frac{17}{20} \right)}^{n}}\quad n\ge 0\] e quindi \[80000{{\left( \frac{17}{20} \right)}^{n}}<40000\leftrightarrow {{\left( \frac{17}{20} \right)}^{n}}<\frac{1}{2}\leftrightarrow n>{{\log }_{\frac{20}{17}}}2\to n>\frac{\ln 2}{\ln 20-\ln 17}\approx 4,3\] pertanto devono trascorrere almeno \(5\) anni affinchè il macchinario abbia perso più della metà del suo valore iniziale.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione