Una funzione

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

 

Buon giorno,

potrebbe dirmi come svolgere questo esercizio (n.90, pag.29, Verso la seconda prova di matematica)?

 

In figura è riportato il grafico \(\gamma\) della funzione \[f\left( x \right)=\frac{\pi(1-x)}{{{x}^{2}}-2x+2}\quad .\]

a. Dimostra che la curva \(\gamma\) è simmetrica rispetto al punto \((1;0)\) e che \(-\frac{\pi }{2}\le f\left( x \right)\le \frac{\pi }{2}\). Traccia un grafico probabile della funzione \(g(x)=\cos \left( f\left( x \right) \right)\) e stabilisci quanti punti di estremo relativo ha tale funzione.

b. Dal punto \(\left( \frac{1}{2};\frac{\pi }{2} \right)\) conduci le rette tangenti a \(\gamma\) e determina le loro equazioni.

c. Dopo aver indicato con \(r\) e \(s\) le rette tangenti che passano rispettivamente per i punti \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) e \(\left( 1;0 \right)\) di \(\gamma\), calcola l’area della regione di piano delimitata da \(\gamma\) e dalle rette \(r\) e \(s\).

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Andrea,

la simmetria rispetto a \((1;0)\) implica le sostituzioni \(x\leftrightarrow 2-x\) e \(y\leftrightarrow –y\), da cui: \[-y=\frac{\pi (1-(2-x))}{{{(2-x)}^{2}}-2(2-x)+2}\to y=\frac{\pi (1-x)}{{{x}^{2}}-2x+2}\] cioè la tesi. Calcoliamo la derivata di \(f(x)\): \[f’\left( x \right)=\frac{\pi x\left( x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{2}}}\] da cui si evince che in \(x=0\) la funzione presenta un massimo, relativo e assoluto, di valore \(f\left( 0 \right)=\frac{\pi }{2}\), mentre in \(x=2\) la funzione presenta un minimo, relativo e assoluto, di valore \(f\left( 2 \right)=-\frac{\pi }{2}\).

La funzione \(g(x)=\cos \left( f\left( x \right) \right)\) assume quindi valori compresi tra \(0\) e \(1\), secondo un andamento di questo tipo:

Poiché \(g’\left( x \right)=-\sin \left( f\left( x \right) \right)f’\left( x \right)\), considerando zeri e segno di \(-\sin \left( f\left( x \right) \right)\) in relazione a zeri e segno di \(f’\left( x \right)\), possiamo dire che la funzione \(g(x)\) presenta due minimi, relativi e assoluti, di valore \(0\), in corrispondenza a \(x=0\) e \(x=2\), mentre in \(x=1\) presenta un massimo, relativo e assoluto, di valore \(x=1\), a conferma del grafico precedente.

Per ricavare le tangenti condotte dal punto \(\left( \frac{1}{2};\frac{\pi }{2} \right)\), esterno alla curva \(\gamma\), ricaviamo l’espressione di una generica retta tangente a \(\gamma\) in un suo punto \(A(t;f(t))\):     \[y=\frac{\pi t\left( t-2 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}\left( x-t \right)+\frac{\pi \left( 1-t \right)}{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}\] e imponiamo l’appartenenza del punto \(P\) a tale retta tangente: \[\frac{\pi }{2}=\frac{\pi t\left( t-2 \right)}{{{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}}\left( \frac{1}{2}-t \right)+\frac{\pi \left( 1-t \right)}{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}\to \]\[\to {{\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)}^{2}}=t\left( t-2 \right)\left( 1-2t \right)+2\left( 1-t \right)\left( {{t}^{2}}-2t+2 \right)\to \]\[\to {{t}^{4}}-4{{t}^{3}}+8{{t}^{2}}-8t+4=-4{{t}^{3}}+11{{t}^{2}}-10t+4\to \]\[\to {{t}^{4}}-3{{t}^{2}}+2t=0\to t{{\left( t-1 \right)}^{2}}\left( t+2 \right)=0\to \]\[\to {{t}_{1}}=-2\vee {{t}_{2}}=0\vee {{t}_{3}}=1\] valori a cui corrispondono rispettivamente le seguenti rette: \[y=\frac{2\pi }{25}x+\frac{23\pi }{50}\quad y=\frac{\pi }{2}x\quad y=-\pi x+\pi \quad .\]

Infine, per calcolare l’area \(S\) della regione delimitata da \(\gamma\), \(r\) e \(s\), sottraiamo all’area del trapezio definito dalle rette e dagli assi l’area del sottografico della funzione nell’intervallo \(\left[ 0,1 \right]\): \[S=\frac{3}{8}\pi -\pi \int\limits_{0}^{1}{\frac{1-x}{{{x}^{2}}-2x+2}dx=}\frac{3}{8}\pi +\frac{\pi }{4}\left[ {{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}^{2}} \right]_{0}^{1}=\] \[=\frac{3}{8}\pi +\frac{\pi }{2}\left[ \ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right) \right]_{0}^{1}=\frac{3}{8}\pi -\frac{\pi }{2}\ln 2=\frac{\pi }{8}\left( 3-4\ln 2 \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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