Una primitiva

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

 

Buon giorno,

potrebbe dirmi come svolgere questo esercizio (n.84, pag.27, Verso la seconda prova di matematica)?

 

Data la funzione \(f\left( x \right)=\frac{x+k}{{{x}^{2}}-3x+2}\), determina tra le sue primitive \(F(x)\) quella la cui tangente nel punto \(P(4;4\ln 2)\) forma un angolo di \(45^\circ\) col semiasse positivo delle \(x\).

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Andrea,

innanzitutto ricaviamo l’integrale indefinito di \(f(x)\): \[\int{\frac{x+k}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2k-3+3}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-3}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}+\frac{2k+3}{2}\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\] \[=\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|+\frac{2k+3}{2}\left( \int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx} \right)=\]             \[=\frac{1}{2}\ln \left| x-1 \right|+\frac{1}{2}\ln \left| x-2 \right|+\frac{2k+3}{2}\left( \ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right| \right)+c=\] \[=\left( k+2 \right)\ln \left| x-2 \right|-\left( k+1 \right)\ln \left| x-1 \right|+c\quad .\]

La condizione relativa alla tangente equivale alla richiesta che la derivata di \(F(x)\), cioè \(f(x)\), assuma in \(x=4\) il valore \(1\), da cui \(4+k=6\to k=2\), e la condizione relativa al passaggio dal punto \(P(4;4\ln 2)\) implica: \[4\ln 2-3\ln 3+c=4\ln 2\to c=3\ln 3\] pertanto la primitiva cercata è la seguente: \[F\left( x \right)=4\ln \left| x-2 \right|-3\ln \left| x-1 \right|+3\ln 3\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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