Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Una primitiva

Andrea chiede aiuto in merito al seguente quesito: Data la funzione \(f\left( x \right)=\frac{x+k}{{{x}^{2}}-3x+2}\), determina tra le sue primitive \(F(x)\) quella la cui tangente nel punto \(P(4;4\ln 2)\) forma un angolo di \(45^\circ\) col semiasse positivo delle \(x\).
leggi
Ricevo da Andrea la seguente domanda:   Buon giorno, potrebbe dirmi come svolgere questo esercizio (n.84, pag.27, Verso la seconda prova di matematica)?   Data la funzione \(f\left( x \right)=\frac{x+k}{{{x}^{2}}-3x+2}\), determina tra le sue primitive \(F(x)\) quella la cui tangente nel punto \(P(4;4\ln 2)\) forma un angolo di \(45^\circ\) col semiasse positivo delle \(x\).   Grazie.   Gli rispondo così:   Caro Andrea, innanzitutto ricaviamo l’integrale indefinito di \(f(x)\): \[\int{\frac{x+k}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2k-3+3}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x-3}{{{x}^{2}}-3x+2}dx}+\frac{2k+3}{2}\int{\frac{1}{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}dx}=\] \[=\frac{1}{2}\ln \left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|+\frac{2k+3}{2}\left( \int{\frac{1}{x-2}dx}-\int{\frac{1}{x-1}dx} \right)=\]             \[=\frac{1}{2}\ln \left| x-1 \right|+\frac{1}{2}\ln \left| x-2 \right|+\frac{2k+3}{2}\left( \ln \left| x-2 \right|-\ln \left| x-1 \right| \right)+c=\] \[=\left( k+2 \right)\ln \left| x-2 \right|-\left( k+1 \right)\ln \left| x-1 \right|+c\quad .\] La condizione relativa alla tangente equivale alla richiesta che la derivata di \(F(x)\), cioè \(f(x)\), assuma in \(x=4\) il valore \(1\), da cui \(4+k=6\to k=2\), e la condizione relativa al passaggio dal punto \(P(4;4\ln 2)\) implica: \[4\ln 2-3\ln 3+c=4\ln 2\to c=3\ln 3\] pertanto la primitiva cercata è la seguente: \[F\left( x \right)=4\ln \left| x-2 \right|-3\ln \left| x-1 \right|+3\ln 3\quad .\] Massimo Bergamini

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento