Punti notevoli di un triangolo

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

la prego di aiutarmi a risolvere questo quesito:

 

Siano \(A\) e \(B\) i punti di intersezione della circonferenza \(\gamma\) di equazione \(x^2+y^2-4x+4y=0\) con l’asse delle \(x\). Al variare di \(P\) su \(\gamma\) determina l’equazione del luogo descritto dall’ortocentro, dal baricentro, dal circocentro e dall’incentro del triangolo \(APB\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

assodato che la circonferenza in questione ha centro nel punto \(C(2;-2)\) e raggio \(r=2\sqrt{2}\), e che le sue intersezioni con l’asse \(x\) sono i punti \(A(0;0)\) e \(B(4;0)\), per quanto riguarda il luogo dei circocentri dei triangoli \(APB\) (punto di intersezione degli assi e centro della circonferenza circoscritta) la conclusione è ovvia: il luogo è il centro \(C(2;-2)\) della circonferenza \(\gamma\), Per quanto riguarda i luoghi di ortocentri e baricentri, risulta conveniente esprimere le coordinate di \(P\) in termini di un parametro \(t\) di tipo angolo, cioè: \[P\left( 2\sqrt{2}\cos t+2;2\sqrt{2}\sin t-2 \right)\quad .\] Ricaviamo l’ortocentro di \(APB\) come intersezione di due altezze: la retta \(h_P\) per \(P\) perpendicolare ad \(AB\) e la retta \(h_B\) per \(B\) perpendicolare ad \(AP\): \[{{h}_{P}}:x=2\sqrt{2}\cos t+2\] \[{{h}_{B}}:y=-\frac{2\sqrt{2}\cos t+2}{2\sqrt{2}\sin t-2}\left( x-4 \right)\] che, messe a sistema, danno la seguente espressione per l’ordinata \(y_{Or}\) dell’ortocentro: \[{{y}_{Or}}=\frac{\left( 2-2\sqrt{2}\cos t \right)\left( 2\sqrt{2}\cos t+2 \right)}{2\sqrt{2}\sin t-2}=\frac{\left( 1-2{{\cos }^{2}}t \right)\left( 2\sqrt{2}\sin t+2 \right)}{2{{\sin }^{2}}t-1}=2\sqrt{2}\sin t+2\] pertanto: \[{{x}_{Or}}=2\sqrt{2}\cos t+2,{{y}_{Or}}=2\sqrt{2}\sin t+2\to \frac{{{\left( {{x}_{Or}}-2 \right)}^{2}}}{8}+\frac{{{\left( {{y}_{Or}}-2 \right)}^{2}}}{8}=1\to \] \[\frac{{{\left( {{x}_{Or}}-2 \right)}^{2}}}{8}+\frac{{{\left( {{y}_{Or}}-2 \right)}^{2}}}{8}=1\to x_{Or}^{2}+y_{Or}^{2}-4{{x}_{Or}}-4{{y}_{Or}}=0\] cioè il luogo degli ortocentri è la circonferenza di centro \((2;2)\) e raggio \(2\sqrt{2}\).

Per individuare il baricentro di \(APB\) è sufficiente fare la media aritmetica delle coordinate dei vertici: \[{{x}_{Ba}}=\frac{6+2\sqrt{2}\cos t}{3},{{y}_{Ba}}=\frac{2\sqrt{2}\sin t-2}{3}\to \frac{9{{\left( {{x}_{Ba}}-2 \right)}^{2}}}{8}+\frac{9{{\left( {{y}_{Ba}}+2/3 \right)}^{2}}}{8}=1\to \] \[\to 9x_{Ba}^{2}+9y_{Ba}^{2}-36{{x}_{Ba}}+12{{y}_{Ba}}+32=0\] cioè il luogo dei baricentri è la circonferenza di centro \((2;-2/3)\) e raggio \(2\sqrt{2}/3\).

Più complessa è l’individuazione del luogo degli incentri. Utilizziamo a tale proposito il seguente risultato geometrico, che si può dimostrare osservando la figura e facendo uso sistematicamente del teorema che stabilisce la congruenza di angoli alla circonferenza che sottendono corde congruenti e viceversa. Per prima cosa possiamo affermare che tutte le bisettrici dell’angolo in \(P\) passano per l’estremo \(F\) del diametro assiale di \(AB\) se \(P\) appartiene all’arco \(AB\) minore, per l’altro estremo \(K\) se \(P\) appartiene all’arco maggiore, in quanto \(AF\cong BF\) essendo corde consecutive viste da angoli alla circonferenza congruenti, e lo stesso se \(P\) appartiene all’altro arco. Inoltre, osservando il triangolo \(GPB\), essendo \(BG\) bisettrice dell’angolo in \(B\), si conclude che l’angolo in \(G\) è il supplementare del doppio dell’angolo \(G\hat{B}F\), e questo implica che \(G\hat{B}F\cong B\hat{In}F\), cioè il triangolo \(FBIn\) è isoscele, e quindi l’incentro \(In\) si mantiene sempre a distanza pari a \(BF\) da \(F\): questo dimostra che il luogo descritto da \(In\) quando \(P\) varia sul minore degli archi \(AB\) è l’arco di circonferenza di centro \(F\) e raggio \(BF=AF\) compreso tra \(A\) e \(B\); in modo analogo, quando \(P\) appartiene al maggiore degli archi \(AB\), il luogo descritto da \(In\) è l’arco della circonferenza di centro \(K\) e raggio \(AK=BK\) compreso tra \(A\) e \(B\). Possiamo riassumere tale luogo in termini analitici come segue: \[\left\{\begin{array}{ll} (x-2)^2+(y+2(\sqrt{2}+1))^2=8(2+\sqrt{2})\quad 0\le x\le 4,\;y\ge 0 \\ (x-2)^2+(y-2(\sqrt{2}-1))^2=8(2-\sqrt{2})\quad 0\le x\le 4,\;y\le 0 \end{array} \right.\to\] \[\to\left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2-4x+4(1+\sqrt{2}+1)y=0\quad 0\le x\le 4,\;y\ge 0 \\ x^2+y^2-4x-4(\sqrt{2}-1)y=0\quad 0\le x\le 4,\;y\le 0 \end{array} \right.\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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