Un test automobilistico

Ricevo da Paola la seguente domanda:

 

Gentilissimo Professore,

mi può aiutare a risolvere il seguente esercizio (pag.24, n.73, Verso la seconda prova di matematica)?

 

Test su strada Durante il test di un’automobile su una pista rettilinea viene registrata la sua accelerazione \(a(t)\) per un breve intervallo di tempo; il suo andamento è rappresentato in figura.

a. Ricava e espressioni della velocità istantanea \(v(t)\) e della posizione \(s(t)\) nell’intervallo \(\left[ 0;8 \right]\), sapendo che l’auto parte da ferma dalla posizione iniziale zero.

b. Traccia i grafici di \(v(t)\) e \(s(t)\), quindi determina i valori massimi \({{v}_{\max }}\) e \({{s}_{\max }}\) delle due funzioni.

c. Vi sono istanti di tempo, nell’intervallo \(\left[ 0;8 \right]\), in cui una delle funzioni \(a(t)\), \(v(t)\), \(s(t)\) presenta punti di non derivabilità? Se sì, quali?

 Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Paola,

possiamo esplicitare la funzione \(a(t)\) nel seguente modo: \[a(t)=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{3}{2}t \quad\quad 0\le t\le 2 \\ 3\quad\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{3}{2}t+9 \quad 4\le t\le 8 \end{array} \right.\] da cui, integrando e avendo cura di raccordare le costanti di integrazione in modo che la funzione \(v(t)\) risulti continua e sia tale che \(v(0)=0\), si ricava: \[v(t)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{3}{4}t^2 \quad\quad\quad 0\le t\le 2 \\ 3t-3\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{3}{4}t^2+9t-15 \quad 4\le t\le 8 \end{array} \right.\] e in modo analogo per \(s(t)\):

 

 

 

\[s(t)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{4}t^3 \quad\quad\quad\quad 0\le t\le 2 \\ \frac{3}{2}t^2-3t+2 \quad\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{1}{4}t^3+\frac{9}{2}t^2-15t+18\quad 4\le t\le 8 \end{array}
\right.\]
Si osserva quindi che \({{v}_{\max }}=12\,m/s\) e  \({{s}_{\max }}=58\,m\), ed è altresì chiaro che \(s(t)\) e \(v(t)\) non presentano punti di non derivabilità, in quanto primitive di funzioni continue, mentre \(a(t)\) ha punti di non derivabilità di tipo angoloso in corrispondenza a \(t=2\;s\) e \(t=4\;s\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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