ua accelerazione \(a(t)\) per un breve intervallo di tempo; il suo andamento è rappresentato in figura.
a. Ricava e espressioni della velocità istantanea \(v(t)\) e della posizione \(s(t)\) nell’intervallo \(\left[ 0;8 \right]\), sapendo che l’auto parte da ferma dalla posizione iniziale zero.
b. Traccia i grafici di \(v(t)\) e \(s(t)\), quindi determina i valori massimi \({{v}_{\max }}\) e \({{s}_{\max }}\) delle due funzioni.
c. Vi sono istanti di tempo, nell’intervallo \(\left[ 0;8 \right]\), in cui una delle funzioni \(a(t)\), \(v(t)\), \(s(t)\) presenta punti di non derivabilità? Se sì, quali?
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Paola,
possiamo esplicitare la funzione \(a(t)\) nel seguente modo: \[a(t)=\left\{\begin{array}{lll}
\frac{3}{2}t \quad\quad 0\le t\le 2 \\ 3\quad\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{3}{2}t+9 \quad 4\le t\le 8 \end{array} \right.\] da cui, integrando e avendo cura di raccordare le costanti di integrazione in modo che la funzione \(v(t)\) risulti continua e sia ta
le che \(v(0)=0\), si ricava: \[v(t)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{3}{4}t^2 \quad\quad\quad 0\le t\le 2 \\ 3t-3\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{3}{4}t^2+9t-15 \quad 4\le t\le 8 \end{array} \right.\] e in modo analogo
per \(s(t)\):
\[s(t)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{4}t^3 \quad\quad\quad\quad 0\le t\le 2 \\ \frac{3}{2}t^2-3t+2 \quad\quad\quad 2<t<4 \\ -\frac{1}{4}t^3+\frac{9}{2}t^2-15t+18\quad 4\le t\le 8 \end{array}
\right.\]
Si osserva quindi che \({{v}_{\max }}=12\,m/s\) e \({{s}_{\max }}=58\,m\), ed è altresì chiaro che \(s(t)\) e \(v(t)\) non presentano punti di non derivabilità, in quanto primitive di funzioni continue, mentre \(a(t)\) ha punti di non derivabilità di tipo angoloso in corrispondenza a \(t=2\;s\) e \(t=4\;s\).
Massimo Bergamini
