Una parabola

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

non riesco a risolvere questo problema:

 

Scrivi l’equazione della parabola che ha asse di equazione \(x=2\), direttrice di equazione \(y=0\) e passa per \(A(1,-1)\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

partendo da una parabola del tipo \(y=ax^2\), la cui direttrice è la retta \(y=-\frac{1}{4a}\), otteniamo una parabola di asse \(x=2\) se operiamo con una traslazione di vettore \((2,y_V)\), essendo \(y_V\) l’ordinata del vertice della parabola traslata, la cui equazione è \(y=a(x-2)^2+y_V\), mentre la sua direttrice ha equazione \(y=-\frac{1}{4a}+y_V\). Imponendo le condizioni in ipotesi si ha: \[-1=a+{{y}_{V}}\quad \wedge \quad 0=-\frac{1}{4a}+{{y}_{V}}\to 4{{a}^{2}}+4a+1=0\to a=-\frac{1}{2}\wedge {{y}_{V}}=-\frac{1}{2}\] da cui l’equazione della parabola cercata: \[y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x-\frac{5}{2}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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