Lucia chiede aiuto in merito al seguente problema:
Scrivi l'equazione della parabola che ha asse di equazione \(x=2\), direttrice di equazione \(y=0\) e passa per \(A(1,-1)\).
Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a risolvere questo problema:
Scrivi l'equazione della parabola che ha asse di equazione \(x=2\), direttrice di equazione \(y=0\) e passa per \(A(1,-1)\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
partendo da una parabola del tipo \(y=ax^2\), la cui direttrice è la retta \(y=-\frac{1}{4a}\), otteniamo una parabola di asse \(x=2\) se operiamo con una traslazione di vettore \((2,y_V)\), essendo \(y_V\) l’ordinata del vertice della parabola traslata, la cui equazione è \(y=a(x-2)^2+y_V\), mentre la sua direttrice ha equazione \(y=-\frac{1}{4a}+y_V\). Imponendo le condizioni in ipotesi si ha: \[-1=a+{{y}_{V}}\quad \wedge \quad 0=-\frac{1}{4a}+{{y}_{V}}\to 4{{a}^{2}}+4a+1=0\to a=-\frac{1}{2}\wedge {{y}_{V}}=-\frac{1}{2}\] da cui l’equazione della parabola cercata: \[y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x-\frac{5}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini
