Un limite da verificare

Ricevo da Carlalberto la seguente domanda:

 

Buongiorno professore,

non riesco a svolgere questo esercizio (n.241, pag.1457, Manuale blu di matematica).

 

Controlla, mediante il procedimento di verifica, se il seguente limite è errato: \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln x=-\infty \).

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Carlalberto,

il limite è corretto, infatti la scrittura equivale alla seguente: \[\forall M>0\ \exists {{\delta }_{M}}>0\,/se\;0<x<{{\delta }_{M}}\Rightarrow \ln x<-M\quad .\] Risolviamo la disequazione finale, e verifichiamo che l’insieme soluzione contiene un intorno destro dello zero, la cui semiampiezza dipende da \(M\), come richiesto: \[\ln x<-M\Rightarrow x>0\ \wedge \ x<{{e}^{-M}}\Rightarrow 0<x<\frac{1}{{{e}^{M}}}\] in altre parole, \({{\delta }_{M}}=\frac{1}{{{e}^{M}}}\) è la semiampezza dell’intorno destro di \(0\) che si doveva determinare per verificare il limite.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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