posto \(x\) il lato del triangolo di base, detta \(h\) l’altezza del prisma si ha, per il volume: \[8=\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{2}}h\to h=\frac{32}{\sqrt{3}{{x}^{2}}}\] per cui la superficie \(y\) è data dalla funzione: \[y=3hx+\frac{\sqrt{3}}{2}{{x}^{2}}=\sqrt{3}\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{32}{x} \right)\quad .\]
Se consideriamo lo studio della funzione al di là del limite geometrico (\(x>0\)), si ha una funzione definita, continua e derivabile nel dominio \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), con limite \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(\pm\infty\) (il grafico della funzione tende a identificarsi con quello della parabola \(y=\frac{\sqrt{3}}{2}{{x}^{2}}\)) e asintoto verticale in \(x=0\) (limite \(\pm \infty\) per \(x\) che tende a \({{0}^{\pm }}\)). La derivata: \[y'=\sqrt{3}\left( \frac{{{x}^{3}}-32}{{{x}^{2}}} \right)\] si annulla per \(x=2\sqrt[3]{4}\), valore a cui corrisponde un minimo di valore \(y=12\sqrt{3}\sqrt[3]{2}\).
La concavità della funzione cambia in corrispondenza all’unico punto di flesso, la cui ascissa \(x=-\frac{4}{\sqrt[6]{3}}\) è il valore di annullamento della derivata seconda: \[y''=\frac{\sqrt{3}{{x}^{3}}+64}{{{x}^{3}}}\quad .\]
Massimo Bergamini
