è continua e derivabile anche in \(x=1\) per qualunque valore di \(k\). Poiché \(f’(1)=k\), posto \(k=-1\) risulta soddisfatta la condizione del punto b), e si ha: \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} -e^{x-1}\quad\quad x<1 \\ -x^2+x-1 \quad x\ge 1 \end{array} \right.\] funzione che risulta sempre negativa, monotona decrescente, con limiti \(0\) a \(-\infty\) e \(-\infty\) a \(+\infty\).
Negli intervalli richiesti, il valore di \(\left( f\left( b \right)-f\left( a \right) \right)/\left( b-a \right)\) è, rispettivamente, \(-4\) e \(\frac{1-3e}{2e}\): uguagliando il primo all’espressione della derivata per \(x>1\), cioè \(-2x+1\), si ha il valore \({{x}_{1}}=\frac{5}{2}\) che verifica la tesi del teorema di Lagrange, uguagliando il seondo prima all’espressione \(-2x+1\), poi all’espressione \(-{{e}^{x-1}}\) (dal momento che \(1\) è interno all’intervallo), si ha \({{x}_{2}}=\frac{5e-1}{4e}>1\), accettabile, e \({{x}_{3}}=\ln \frac{3e-1}{2}>1\), non accettabile in quanto sottoposta alla condizione \(x>1\).
Massimo Bergamini
