nel primo caso, possiamo ricavare l’equazione generale della famiglia di ellissi tangenti sia agli assi coordinati che alla retta \(BC\), cioè \(y=-\frac{3}{2}x+3\), imponendo la nullità del discriminante dell’equazione risolvente il sistema ellisse-retta, con la condizione \(0<a<2\),\(0<b<3\): \[\frac{{{\left( x-a \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{\left( -3x+6-b \right)}{4{{b}^{2}}}=1\to \] \[\to \left( 4{{b}^{2}}+9{{a}^{2}} \right){{x}^{2}}-4a\left( 2{{b}^{2}}+9a-3ab \right)x+4{{a}^{2}}{{\left( b-3 \right)}^{2}}=0\to \]\[\to 4{{a}^{2}}\left[ {{\left( 2{{b}^{2}}+9a-3ab \right)}^{2}}-\left( 4{{b}^{2}}+9{{a}^{2}} \right){{\left( b-3 \right)}^{2}} \right]=0\to \]\[\to 12{{b}^{2}}\left( 3a-ab-3+2b \right)=0\to a=\frac{2b-3}{b-3}\] pertanto, abbiamo due possibilità: \[a=2b\to 2{{b}^{2}}-8b+3=0\to b=\frac{4-\sqrt{10}}{2},a=4-\sqrt{10}\] \[a=\frac{b}{2}\to {{b}^{2}}-7b+6=0\to b=1,a=\frac{1}{2}\] a cui corrispondono le seguenti ellissi: \[4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-2y+1=0\quad {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-2\left( 4-\sqrt{10} \right)x-4\left( 4-\sqrt{10} \right)y+{{\left( 4-\sqrt{10} \right)}^{2}}=0\quad .\]
Nel secondo caso, vista l’isometria e l’esternità delle due ellissi, e il fatto che risultino centralmente simmetriche rispetto al punto \(A(-1,0)\), si verifica facilmente che le tangenti comuni sono quattro: le rette \(y=1\) e \(y=-1\), e le rette passanti per il punto \(A\) tali che sia
soddisfatta la condizione di tangenza per una delle due ellissi, cioè ad esempio: \[{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4m{{\left( x+1 \right)}^{2}}=4\to \]\[\to \left( 1+4{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+4\left( 2{{m}^{2}}-1 \right)x+4{{m}^{2}}=0\to \]\[\to 4\left( 4{{m}^{4}}-4{{m}^{2}}+1 \right)-4{{m}^{2}}\left( 4{{m}^{2}}+1 \right)=0\to \]\[\to 1-5{{m}^{2}}=0\to m=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\] da cui le rette: \[y=\frac{\sqrt{5}}{5}x+\frac{\sqrt{5}}{5}\quad y=-\frac{\sqrt{5}}{5}x-\frac{\sqrt{5}}{5}\quad .\]
Massimo Bergamini
