Ricevo da Chiara la seguente domanda:
Chiarissimo Professore,
ho delle difficoltà nella soluzione di un integrale indefinito, potrebbe aiutarmi? L'integrale è:
\[\int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}dx\quad .}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Chiara,
utlizziamo la tecnica della decomposizione di Hermite, tenendo conto che il trinomio in questione non è scomponibile in campo reale, cioè cerchiamo quattro costanti \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) tali che: \[\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}=\frac{Ax+B}{{{x}^{2}}+x+1}+\frac{d}{dx}\left( \frac{Cx+D}{{{x}^{2}}+x+1} \right)\] cioè: \[\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}=\frac{Ax+B}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{C{{x}^{2}}+2Dx-C+D}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}\to \]\[\to \frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}=\frac{A{{x}^{3}}+\left( A+B-C \right){{x}^{2}}+\left( A+B-2D \right)x+B+C-D}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}\to \] \[\to\left\{\begin{array}{llll} A=0 \\ A+B-C=0 \\ A+B-2D=0 \\ B+C-D=1 \end{array} \right.\to\] \[A=0,\ B=C=\frac{2}{3},\ D=\frac{1}{3}\] per cui: \[\int{\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}}dx}=\frac{2}{3}\int{\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}dx}+\frac{1}{3}\int{\frac{d}{dx}\left( \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1} \right)dx}=\] \[=\frac{4\sqrt{3}}{9}\int{\frac{2/\sqrt{3}}{{{\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+1}dx}+\frac{1}{3}\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}=\] \[=\frac{4\sqrt{3}}{9}\arctan \left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)+\frac{2x+1}{3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}+c\quad .\]
Massimo Bergamini