Una strana divisibilità

Ricevo da Linda la seguente domanda: Caro professore, ho questo esercizio che nonostante sia semplice non mi viene e soprattutto non so come devo ragionare. Come bisognava ragionare per risolverlo? Se si divide il numero \(100000\) per un numero intero di tre cifre diverse si ottiene un quoziente (intero) e un resto, la cosa strana è che il quoziente è composto dalle stesse cifre del divisore, scritte però nell'ordine inverso. Sapendo queste informazioni determinare il divisore. Grazie. Le rispondo così: Cara Linda, procederei in modo sistematico, dopo aver osservato che, posto \(abc\) il divisore da trovare, con \(b\) cifra qualsiasi, e \(a\) e \(c\) cifre diverse da \(0\), oltre che diverse tra loro e diverse da \(b\), si ha, per ipotesi: \[100000=abc\cdot cba+r\] con \(r<abc\), cioè, per la precisione, \(r<987\), il che implica che \(99013\le abc\cdot cba\le 100000\). Quest’ultima condizione limita a solo sette le possibili coppie \(a-c\), come facilmente si verifica immaginando ciascuna di esse come prima e ultima cifra, in ciascuno dei due ordini possibili, dei due fattori: \[9\ldots 1\times 1\ldots 9\quad 8\ldots 1\times 1\ldots 8\quad 7\ldots 1\times 1\ldots 7\quad 6\ldots 1\times 1\ldots 6\quad\]\[5\ldots 1\times 1\ldots 5\quad 4\ldots 2\times 2\ldots 4\quad 3\ldots 2\times 2\ldots 3\] Si tratta ora di provare a riempire il posto centrale con una terza cifra non uguale alle due presenti: \[901\times 109=98209<99013,\quad 921\times 129=118809>100000\to no\] Il fatto che \(901\times 109<99013\) esclude lo \(0\) anche dagli altri casi in cui compare \(1\), poiché darebbero prodotti ancora più piccoli, e con ragionamento analogo si escludono anche altri casi sulla base dei precedenti, quindi proseguiamo così: \[821\times 128=10508>100000\to no\]\[721\times 127=91567<99013\to no,\quad 731\times 137=100147>100000\to no\]\[641\times 146=93586<99013\to no,\quad 651\times 156=101556>100000\to no\] \[561\times 165=92565<99013\to no,\quad 571\times 175=99925\to s\grave{i}!\] Massimo Bergamini

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