Ricevo da Lucia la seguente domanda:
Caro professore,
ho alcuni integrali che non riesco a risolvere (pag.1973, n.271 e n.276, Matematica.blu 2.0, vol.5): \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx\quad \quad \int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx\quad .\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Lucia,
in entrambi i casi possiamo operare la sostituzione \(t=\sqrt{x}\to x={{t}^{2}}\to dx=2tdt\), per cui: \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx=2\int{\frac{t}{{{t}^{2}}-t}}dt=2\int{\frac{1}{t-1}}dt=2\ln \left| t-1 \right|+c=\ln {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}+c\]\[\int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx=8\int{\frac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\int{dt}-8\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\sqrt{x}-8\arctan \sqrt{x}+c\quad .\]
Massimo Bergamini