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L'esperto di matematica

Due integrali per sostituzione

Lucia chiede aiuto per il calcolo dei seguenti integrali: \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx\quad \quad \int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx\quad .\]
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Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, ho alcuni integrali che non riesco a risolvere (pag.1973, n.271 e n.276, Matematica.blu 2.0, vol.5): \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx\quad \quad \int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx\quad .\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, in entrambi i casi possiamo operare la sostituzione \(t=\sqrt{x}\to x={{t}^{2}}\to dx=2tdt\), per cui:           \[\int{\frac{1}{x-\sqrt{x}}}dx=2\int{\frac{t}{{{t}^{2}}-t}}dt=2\int{\frac{1}{t-1}}dt=2\ln \left| t-1 \right|+c=\ln {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}+c\]\[\int{\frac{4\sqrt{x}}{1+x}}dx=8\int{\frac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\int{dt}-8\int{\frac{1}{1+{{t}^{2}}}}dt=8\sqrt{x}-8\arctan \sqrt{x}+c\quad .\] Massimo Bergamini

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