Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Buon giorno,
ci è stato assegnato il seguente esercizio (n.3, Verso la seconda prova di matematica 2017- esercizi)
Leggi il grafico a.Scrivi l’equazione della parabola \(\gamma\) rappresentata nella figura e trova il punto di intersezione \(A\) della retta \(r\) di equazione \(3x-2y=0\) con la tangente a \(\gamma\) nel suo punto \(P\) di ascissa \(1\).
b. Considera la funzione \(f(x)=\left| \frac{mx}{x-3} \right|-5\). Calcola per quale valore di \(m\in {{\mathbb{R}}^{+}}\) il suo grafico passa per \(A\) e determina gli intervalli in cui \(f(x)\) è crescente e decrescente.
c. Spiega perché \(f(x)\) non è invertibile nel suo dominio, effettua una restrizione di \(f(x)\) nell’intervallo \(\left] 0;3 \right[\) e determina la funzione inversa sia analiticamente che graficamente.
Potrebbe aiutarmi? Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
data la generica parabola \(y=ax^2+bx+c\), nota l’ascissa del vertice e l’intersezione con l’asse \(y\), possiamo affermare che \(b=-\frac{2}{3}a\) e \(c=-2\), da cui \(y=a{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-2\): imponendo il valore \(-\frac{7}{3}\) per l’ordinata del vertice otteniamo \(a=3\), e di conseguenza: \[y=3{{x}^{2}}-2x-2\quad .\] Poiché \(y’(1)=4\), sia l’equazione della tangente in \(P\): \(y=4(x-1)-1=4x-5\), che, intersecata con \(r\), fornisce il punto \(A(2;3)\).
La funzione \(f(x)\) assume in \(x=2\) il valore \(2|m|-5\), che vale \(3\) per il solo valore positivo di \(m\) pari a \(4\). La funzione che si ottiene: \[f\left( x \right)=\left| \frac{4x}{x-3} \right|-5=\left\{\begin{array}{ll} \frac{-x+15}{x-3}\quad x\le 0\vee x>3 \\ \frac{-9x+15}{x-3}\quad 0<x<3 \end{array} \right.\] ha derivata \[f'\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{-12}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\quad x<0\vee x>3 \\ \frac{12}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\quad 0<x<3 \\ \end{array} \right.\] il cui segno, positivo per \(0<x<3\), negativo altrove, dimostra come la funzione \(f(x)\) sia decrescente esternamente all’intervallo \(\left] 0;3 \right[\), crescente al suo interno, non derivabile in \(x=0\) (in \(x=3\) la funzione non è definita). La non monotonia comporta, in questo caso, la non iniettività della funzione nel suo dominio, e quindi la non invertibilità. La restrizione di \(f(x)\) all’intervallo \(\left] 0;3 \right[\), in cui la funzione è monotona crescente, è invece invertibile, poiché realizza una corrispondenza biunivoca tra il dominio \(\left] 0;3 \right[\) e il codominio \(\left] -5;+\infty \right[\); l’espressione analitica della funzione inversa si ottiene nel modo seguente: \[y=\frac{-9x+15}{x-3}\to x\left( y+9 \right)=3y+15\to\]\[\to x=\frac{3y+15}{y+9}\] cioè, scambiando le variabili, e scambiando dominio e codominio:
\[y=\frac{3x+15}{x+9}\quad .\]
Massimo Bergamini