Funzioni e parametri

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

non riesco a risolvere questi due problemi mi darebbe una mano? (pag.1912, n.310 e n.311,  matematica.blu 2.0, vol.5).

 

1) Determina \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) in modo che la funzione \(y=ax+b+\frac{c}{x}+\frac{d}{{{x}^{2}}}\) abbia come asintoto la retta di equazione \(2y+x+4=0\), in \(x=-1\) un punto di minimo e nel punto \(x=-2\) un flesso. Rappresenta il suo grafico.

 

2) Data la funzione \(y=\frac{a{{x}^{2}}-1}{x+2}\):

a) trova \(a\) in modo che la funzione abbia un massimo nel punto di ascissa \(x=1\);

b) rappresenta graficamente la funzione ottenuta;

c) cerca un punto \(P\) nel grafico, con \(-1\le x_P\le4\), in modo che la somma delle sue distanze dagli asintoti sia minima.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

nel primo caso, essendo la funzione asintoticamente equivalente alla funzione \(y=ax+b\) nel limite per \(x\to\infty\), la condizione sull’asintoto porta subito ad avere \(a=-\frac{1}{2}\) e \(b=-2\). Le derivate prima e seconda della funzione sono quindi date da: \[y’=-\frac{1}{2}-\frac{c}{{{x}^{2}}}-\frac{2d}{{{x}^{3}}}\]   \[y”=\frac{2c}{{{x}^{3}}}+\frac{6d}{{{x}^{4}}}\] per cui, per soddisfare le richieste su minimo e flesso, necessariamente si deve avere: \[y’\left( -1 \right)=-\frac{1}{2}-c+2d=0\quad y”\left( -2 \right)=-\frac{c}{4}+\frac{3d}{8}=0\] da cui \(c=\frac{3}{2}\) e \(d=1\).

Nel secondo caso, la condizione di massimo in \(x=1\) implica: \[y’\left( x \right)=\frac{a{{x}^{2}}+4ax+1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\to y’\left( 1 \right)=\frac{5a+1}{9}=0\to a=-\frac{1}{5}\] per cui: \[y\left( x \right)=-\frac{{{x}^{2}}+5}{5\left( x+2 \right)}\quad .\] Poiché \(x=-2\) e \(x+5y-2=0\) sono, rispettivamente, l’asintoto verticale e l’asintoto obliquo del grafico della funzione (iperbole), la somma delle distanze di un punto \(P\) di tale grafico dai suoi asintoti è data, in funzione dell’ascissa \(x\) di \(P\) (con \(-1\le x\le 4\)), dalla seguente: \[d\left( x \right)=x+2+\frac{\left| x-\frac{{{x}^{2}}+5}{5\left( x+2 \right)}-2 \right|}{\sqrt{26}}=x+2+\frac{9}{\sqrt{26}\left( x+2 \right)}\] la cui derivata \[d’\left( x \right)=1-\frac{9}{\sqrt{26}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\] si annulla se e solo se \(x=-2\pm \frac{3}{\sqrt[4]{26}}\): il minimo cercato corrisponde perciò al punto \(P\) di ascissa \(x=-2+\frac{3}{\sqrt[4]{26}}\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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