Quadrati perfetti

Ricevo da Linda la seguente domanda:

 

Caro professore,

non so come risolvere questo esercizio, mi potrebbe dare una mano?

 

Data la funzione \(f(x)=x^2+100x+1\) con \(x\) appartenente agli interi positivi, qual è il massimo valore per \(x\) affinchè \(f(x)\) sia un quadrato perfetto?

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Linda,

possiamo ragionare così. Poiché \(f(x)\) è funzione crescente di \(x\in\mathbb{N}\), posto \(f(x)=k^2\), con \(k\) intero positivo, si deve trovare il massimo valore di \(k\) per il quale si abbia \(f(x)=x^2+100x+1=k^2\), cioè per il quale sia: \[x=-50+\sqrt{2499+{{k}^{2}}}\] unica soluzione che possa appartenere ai naturali. Tale valore di \(x\) è intero positivo se e solo se \(2499+k^2\) è a sua volta un quadrato perfetto, cioè se e solo se esiste \(m\in\mathbb{N}\), con \(m>k\), tale che: \[2499+{{k}^{2}}={{m}^{2}}\to 2499={{m}^{2}}-{{k}^{2}}\to 2499=\left( m-k \right)\left( m+k \right)\] cioè \(a=m-k\) e \(b=m+k\), con \(b>a\), devono essere fattori interi di \(2499=3\cdot 7^2\cdot17\). Le sole possibilità sono le seguenti: \[a=1,b=2499\quad a=3,b=833\quad a=7,b=357\quad a=17,b=147\quad a=21,b=119\quad a=49,b=51\]  la prima delle quali è quella che massimizza il valore di \(k\), e di conseguenza il valore di \(x\): \[a=1,b=2499\to m=1250,k=1249\to x=-50+\sqrt{2499+{{1249}^{2}}}=1200.\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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