\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,x{{e}^{-{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}=0\] che implica il fatto che l’asse \(x\) è asintoto orizzontale per il grafico della funzione. Calcoliamo derivata prima e derivata seconda della funzione: \[y'=\left( 1-2{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\quad y'=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\] e osserviamo che, essendo \(y’>0\) per \(-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’=0\) per \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’<0\) altrove, si ha che la funzione presenta un minimo relativo per \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=\frac{\sqrt{2e}}{2}\), un massimo relativo per \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=-\frac{\sqrt{2e}}{2}\). Riguardo a concavità e flessi, osserviamo che \(y’’>0\) per \(-\sqrt{\frac{3}{2}}<x<0\vee x>\sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’=0\) per \(x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’<0\) per \(x<-\sqrt{\frac{3}{2}}\vee 0<x<\sqrt{\frac{3}{2}}\), per cui, essendo la funzione concava verso l’alto nei tratti in cui la derivata seconda è positiva, concava verso il basso nei tratti a derivata seconda negativa, nei punti in cui la derivata seconda si annulla si hanno dei punti di flesso obliquo, in cui la retta tangente attraversa il grafico.
Massimo Bergamini
