Una funzione

Ricevo da Silvia la seguente domanda:

 

Caro professore,

non ho ben capito come risolvere esercizi di questo tipo:

 

Si determinino massimi, minimi, concavità ed eventuali punti di flesso della funzione

\[y=x{{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\quad .\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Silvia,

procediamo con un sistematico studio della funzione, osservando innanzitutto che essa è definita, continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), presenta una simmetria rispetto all’origine del riferimento (funzione dispari), è positiva per \(x>0\), nulla per \(x=0\), negativa per \(x<0\). Gli unici limiti che ha senso calcolare sono quelli all’infinito:

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,x{{e}^{-{{x}^{2}}+1}}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{{{x}^{2}}-1}}}=0\] che implica il fatto che l’asse \(x\) è asintoto orizzontale per il grafico della funzione. Calcoliamo derivata prima e derivata seconda della funzione: \[y’=\left( 1-2{{x}^{2}} \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\quad y’=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right){{e}^{-{{x}^{2}}+1}}\] e osserviamo che, essendo \(y’>0\) per \(-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’=0\) per \(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(y’<0\) altrove, si ha che la funzione presenta un minimo relativo per  \(x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=\frac{\sqrt{2e}}{2}\), un massimo relativo per \(x=\frac{\sqrt{2}}{2}\), di valore \(x=-\frac{\sqrt{2e}}{2}\). Riguardo a concavità e flessi, osserviamo che \(y’’>0\) per \(-\sqrt{\frac{3}{2}}<x<0\vee x>\sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’=0\) per \(x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(y’’<0\) per \(x<-\sqrt{\frac{3}{2}}\vee 0<x<\sqrt{\frac{3}{2}}\), per cui, essendo la funzione concava verso l’alto nei tratti in cui la derivata seconda è positiva, concava verso il basso nei tratti a derivata seconda negativa, nei punti in cui la derivata seconda si annulla si hanno dei punti di flesso obliquo, in cui la retta tangente attraversa il grafico.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

Prosegui la lettura