Una successione (quasi) periodica

Ricevo da Stefano la seguente domanda: Salve professore, non riesco a risolvere questo esercizio. Determinare il più piccolo valore di \(n\) per il quale l'espressione \(\sin(2^n)\), dove \(n\) è un numero naturale e l'angolo è misurato in gradi sessagesimali, assume il valore massimo. Grazie. Gli rispondo così: Caro Stefano, verifichiamo che la successione \[{{a}_{n}}=\sin \left( {{2}^{n}} \right)\quad n\in \mathbb{N}\] a partire da \(n=3\) diventa periodica, con periodo \(N=12\); infatti, posto che \(x\cong y\) significa che \(x\) e \(y\) hanno lo stesso resto se divisi per \(360\), cioè differiscono per multipli interi di \(360\), e quindi \(x\cong y\Rightarrow \sin x=\sin y\), per calcolare \(a_n\) possiamo raddoppiare l’angolo del termine precedente, sottraendo poi gli eventuali multipli interi di \(360\): \[{{a}_{0}}=\sin \left( 1{}^\circ \right)\quad {{a}_{1}}=\sin \left( 2{}^\circ \right)\quad {{a}_{2}}=\sin \left( 4{}^\circ \right)\quad {{a}_{3}}=\sin \left( 8{}^\circ \right)\]\[{{a}_{4}}=\sin \left( 16{}^\circ \right)\quad {{a}_{5}}=\sin \left( 32{}^\circ \right)\quad {{a}_{6}}=\sin \left( 64{}^\circ \right)\quad {{a}_{7}}=\sin \left( 128{}^\circ \right)\]\[{{a}_{8}}=\sin \left( 256{}^\circ \right)\quad {{a}_{9}}=\sin \left( 152{}^\circ \right)\quad {{a}_{10}}=\sin \left( 304{}^\circ \right)\quad {{a}_{11}}=\sin \left( 248{}^\circ \right)\]\[{{a}_{12}}=\sin \left( 136{}^\circ \right)\quad {{a}_{13}}=\sin \left( 272{}^\circ \right)\quad {{a}_{14}}=\sin \left( 184{}^\circ \right)\quad {{a}_{15}}=\sin \left( 8{}^\circ \right)={{a}_{3}}\] e arrivati a questo la sequenza si ripete con periodicità \(N=12\), cioè: \({{a}_{n+12}}={{a}_{n}}\ \forall n\ge 3\). Poiché si può verificare che \({{a}_{6}}=\sin \left( 64{}^\circ \right)\approx 0,8988\) è il massimo valore tra quelli elencati, concludiamo che la risposta al quesito debba essere \(n=6\). Massimo Bergamini

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