Funzioni e parametri

Ricevo da Silvia la seguente domanda:

 

Caro professore, ho impostato questo esercizio ma non riesco a terminarlo.

 

Data la funzione \[y=\frac{{{x}^{2}}+2px+q}{{{x}^{2}}+1}\]

a) determinare \(p\) e \(q\) in modo che la funzione abbia un punto stazionario in \(x=2\) e il suo grafico passi per il punto \((1,2)\);

b) si studi la funzione ottenuta e se ne tracci il grafico.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Silvia,

posto che la derivata della funzione è la seguente: \[y’=\frac{-2\left( p{{x}^{2}}+\left( q-1 \right)x-p \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\] le due condizioni fornite si traducono nel seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} 2p+q-3=0  \\ 3p+2q-2=0  \\ \end{array} \right.\] che è risolto per \(p=4\) e \(q=-5\). Si tratta quindi di studiare la funzione \[y=\frac{{{x}^{2}}+8x-5}{{{x}^{2}}+1}\] definita, continua e derivabile in tutto \(\mathbb{R}\), nulla in \(x=-4\pm \sqrt{21}\), positiva esternamente al relativo intervallo. Abbiamo già calcolato la derivata prima:  \[y’=\frac{-4\left( 2{{x}^{2}}-3x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]che si annulla per \(x=2\), in corrispondenza del massimo relativo (e assoluto) \((2,3)\), e per \(x=-\frac{1}{2}\), in corrispondenza al minimo relativo (e assoluto) \((-\frac{1}{2},-7)\). Si possono osservare tre cambiamenti di concavità del grafico della funzione, in corrispondenza a tre punti di flesso, zeri della derivata seconda: \[y”=\frac{4\left( 4{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}-12x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}\] che, con l’aiuto di strumenti di calcolo approssimato, possono essere individuati nei seguenti: \[x_1\approx -1,1\quad x_2\approx 0,22\quad x_3\approx 3,13\quad .\]

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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