Integrali indefiniti

Ricevo da Mario la seguente domanda:

 

Salve Professore,

può illustrarmi il procedimento per la risoluzione dei seguenti integrali indefiniti (n.135, pag.1966, n.137, pag.1967, Matematica.blu 2.0)? \[\int{\frac{\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx\quad \quad \int{\frac{\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}}dx\quad .\]

Grazie.

Gli rispondo così:

 

Caro Mario,

nel primo caso, separiamo l’integrale in due addendi e osserviamo che le funzioni integrande si presentano come derivate di funzioni composte: \[\int{\frac{\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx=\int{\frac{\sin x}{{{\cos }^{4}}x}}dx-\int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}}dx=\int{D\left( \frac{1}{3}{{\cos }^{-3}}x \right)}dx-\int{\frac{{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}}dx=\]\[=\frac{1}{3{{\cos }^{3}}x}-\int{D\left( \frac{{{\tan }^{3}}x}{3} \right)}dx=\frac{1}{3{{\cos }^{3}}x}-\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+c\quad .\]

Nel secondo caso, procediamo in modo analogo: \[\int{\frac{\arctan x+1}{1+{{x}^{2}}}}dx=\int{\frac{\arctan x}{1+{{x}^{2}}}}dx+\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}}dx=\int{D\left( \frac{{{\arctan }^{2}}x}{2} \right)}dx+\arctan x=\frac{{{\arctan }^{2}}x}{2}+\arctan x+c\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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