Sistemi parametrici

Ricevo da Ely la seguente domanda:

 

Caro professore,

sono in difficoltà con i seguenti sistemi parametrici (Matematica.blu 2.0, vol.3, pag.405, n.458 e n.464).

\[\left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-4y=0 \\ y-x+2k=0  \\ x>0 \end{array} \right.\quad\quad \left\{ \begin{array}{lll} x^2+y^2-6x-4y=0 \\ (k+1)x+8ky-6k+2=0  \\ x>0,\;y\le 4 \end{array} \right.\]

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Ely,

nel primo caso, con riferimento alla figura, abbiamo le intersezioni tra una semicirconferenza, priva degli estremi, e un fascio improprio di rette di pendenza \(m=1\). Imponendo il passaggio della retta del fascio dai punti \(A(0,4)\) e \(B(0,0)\), (\(k=-2\) e \(k=0\)) e imponendo la condizione di tangenza nel punto \(T\) (\(k=\sqrt{2}-1\)), avendo osservato che al crescere del valore del parametro \(k\) la retta “scorre” verso il basso (per cui il valore di \(k\) corrispondente alla tangente in \(T\) deve essere maggiore di quello corrispondente alla retta per \(B\), dal momento che \(k=\infty\) corrisponde alla retta “all’infinito”), si ha che il sistema ammette una soluzione per \(-2<k\le 0\), due soluzioni per \(0<k\le \sqrt{2}-1\) (coincidenti se \(k=\sqrt{2}-1\)).

Nel secondo caso, l’arco di circonferenza di estremi \(A(0,0)\) e \(B(6,4)\) deve essere intersecato con il fascio proprio di rette di generatrici \(x=-2\) (\(k=0\)) e \(x+8y-6=0\) (\(k=\infty\)), di centro \(C(-2,1)\). Poiché la retta per \(B\) corrisponde a \(k=-\frac{1}{4}\), deduciamo che il fascio “ruota” in senso antiorario intorno a \(C\), e poichè la generatrice \(k=\infty\) attraversa l’arco \(AB\) nel punto \(D(6,0)\), avremo che l’arco \(AD\) incontra rette corrispondenti a valori positivi di \(k\), mentre l’arco \(DB\) incontra rette corrispondenti a valori di \(k\) negativi. Poiché inoltre la retta per \(A\) (\(k=\frac{1}{3}\)), è secante l’arco \(AD\), vi è anche da considerare la condizione di tangenza nel punto \(T\) (\(k=\frac{3}{13}\)): riassumendo, si ha una soluzione per \(k\ge\frac{1}{3}\) e per \(k\le-\frac{1}{4}\)), due soluzioni per \(\frac{3}{13}\le k<\frac{1}{3}\) (coincidenti se \(k=\frac{3}{13}\)).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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