Diagrammi ad albero e probabilità

Ricevo da Riccardo la seguente domanda:

 

Buongiorno professore,

mi trovo in difficoltà con il calcolo delle probabilità ed il diagramma.

 

Si lancia per tre volte una moneta non truccata: rappresenta tramite un diagramma ad albero tutti i possibili esiti.

Calcola le probabilità che:

1) esca \(3\) volte testa;

2) esca almeno \(1\) volta croce;

3) esca croce nel \(1^\circ\) lancio;

4) esca testa per la prima volta nel \(2^\circ\) lancio;

5) esca testa per la prima volta nel \(3^\circ\) lancio.

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Riccardo,

ecco il diagramma ad albero del problema:

L’evento \(E_1\) = “esce \(3\) volte testa” si verifica solo “percorrendo” i rami superiori, cioè moltiplicando fra loro le probabilità che vi abbiamo riportato (evento intersezione di tre eventi indipendenti), per cui: \[p\left( {{E}_{1}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\quad .\]

L’evento \(E_2\) = “esce almeno una volta croce” è il complementare dell’evento \({{\bar{E}}_{2}}\) = “non esce mai croce” = \(E_1\), per cui: \[p\left( {{E}_{2}} \right)=1-p\left( {{E}_{1}} \right)=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\quad .\]

L’evento \(E_3\) = “esce croce nel primo lancio” (indipendentemente da ciò che avviene dopo) è semplicemente \(p\left( {{E}_{3}} \right)=\frac{1}{2}\).

L’evento \(E_4\) = “esce testa per la prima volta nel \(2^\circ\) lancio” è l’unione degli eventi rappresentati dalle sequenze \(TCT\) e \(TCC\), cioè: \[p\left( {{E}_{4}} \right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}\quad .\]

Infine, l’evento \(E_5\) = “esce testa per la prima volta nel \(3^\circ\) lancio” equivale alla sola sequenza \(CCT\), di probabilità \(p\left( {{E}_{5}} \right)=\frac{1}{8}\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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