Problemi con integrali

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Caro professore,

ho difficoltà con questi problemi (pag.1995, n.603 e n.604, Matematica.blu 2.0, vol. V).

1) a) Tra le primitive di \(f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\) individua quella il cui grafico passa per \(A(0;-\ln 2)\).

b) Rappresenta graficamente la funzione trovata.

c) Determina l’equazione della retta tangente alla curva rappresentata nel suo punto di ascissa \(0\).

2) Data la funzione \(y=x\ln x\), con \(x>0\),

a) calcola il suo integrale indefinito;

b) determina la primitiva \(F\) passante per il punto \((2;0)\);

c) dimostra che tutte le primitive hanno il minimo assoluto nel punto di ascissa \(x=1\);

d) determina le primitive aventi il minimo assoluto con ordinata negativa.

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

nel primo caso si ha, posto \(e^x+1=t\):  \[\int{\frac{1}{{{e}^{x}}+1}dx}=\int{\frac{1}{t\left( t-1 \right)}dt}=-\int{\frac{1}{t}dt}+\int{\frac{1}{t-1}dt=\ln \left| t-1 \right|-\ln \left| t \right|+c=x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+c}\] per cui: \[0-\ln \left( 1+1 \right)+c=-\ln 2\to c=0\to F\left( x \right)=x-\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)\quad .\]

La funzione cresce monotonamente da \(-\infty\) a \(0\), essendo la sua derivata \(f(x)
\) sempre positiva, e inoltre presenta un asintoto obliquo \(y=x\) per \(x\) che tende a \(-\infty\). La retta tangente nel punto di ascissa \(0\) è data da: \[y=f\left( 0 \right)x+F\left( 0 \right)=\frac{1}{2}x-\ln 2\quad .\]

Nel secondo caso, si ha: \[\int{x\ln xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x
-\frac{1}{2}\int{{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{x}dx=}\]\[=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+c\] e in particolare: \[\frac{1}{2}4\ln 2-\frac{1}{4}4+c=0\to c=1-2\ln 2\to\]\[\to F\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+1-2\ln 2\quad .\]

Poiché ogni primitiva ha per derivata \(y=x\ln x\) (per definizione), si ha che tale derivata è negativa per \(0<x<1\), nulla per \(x=1\) e positiva per \(x>1\), per cui in \(x=1\) si verifica un minimo, relativo e assoluto, di ordinata  \(-\frac{1}{4}+c\), pertanto le primitive aventi il minimo assoluto con ordinata negativa sono quelle tali che \(c<\frac{1}{4}\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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