Una disequazione goniometrica

Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:

 

Gentile professore,

mi può aiutare a risolvere la seguente disequazione (ultima richiesta dell’es. n.377, pag.901, Matematica.blu 2.0, Vol.4)?             \[\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin \left( x+\frac{3}{8}\pi  \right)\ge 1\quad .\]

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Ferdinando,

utilizzando le formule di addizione e di bisezione, si ha: \[\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin \left( x+\frac{3}{8}\pi  \right)=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left( \sin x\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}+\cos x\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \right)=\]\[=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left( \sin x\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}+\cos x\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \right)=\frac{\sqrt{\left( 4+2\sqrt{2} \right)\left( 2-\sqrt{2} \right)}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{\left( 4+2\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{2} \right)}}{2}\cos x=\]\[=\sin x+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\cos x=\sin x+\sqrt{{{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}}\cos x=\sin x+\left( 1+\sqrt{2} \right)\cos x\] per cui la disequazione in questione è di tipo lineare: posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), si ha: \[\left\{ \begin{array}{ll} Y+\left( 1+\sqrt{2} \right)X\ge 1 \\ X^2+Y^2=1 \end{array} \right.\] e poiché la retta \(Y=-\left( 1+\sqrt{2} \right)X+1\) interseca la circonferenza goniometrica \(X^2+Y^2=1\) nei punti \((0;1)\) e \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\), corrispondenti agli angoli \(\frac{\pi }{2}\) e \(-\frac{\pi }{4}\), si ha: \[S=\left\{ -\frac{\pi }{4}+2k\pi \le x\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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