Uno studio di funzione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Caro professore,

come si fa lo studio di questa funzione?

\[y=\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}-3x-10}\quad .\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

la funzione, in quanto funzione razionale fratta, è definita, continua e derivabile nel dominio \(\mathbb{R}-\left\{ -2,5 \right\}\), ammette un solo zero in \(x=1\) ed è positiva per \(-2<x<1\) e per \(x>5\). Il suo grafico presenta due asintoti verticali, in corrispondenza ai limiti infiniti per \(x=-2\) e \(x=5\), e un asintoto obliquo \(y=x+3\). Le funzioni derivata prima e seconda sono le seguenti: \[y’=\frac{{{x}^{4}}-6{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)}^{2}}}\quad y”=\frac{2\left( 19{{x}^{3}}+87{{x}^{2}}+309x-19 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x-10 \right)}^{3}}}\] e per entrambe risulta problematico uno studio degli zeri e del segno, in quanto le equazioni di quarto e terzo grado che si devono risolvere non ammettono soluzioni razionali: utilizzando metodi di calcolo approssimato o software di calcolo elettronico, si ricavano le ascisse approssimate di un punto di massimo relativo in \(x\approx -3,31\) e di un punto di minimo relativo in \(x\approx 9,23\), mentre si può collocare approssimativamente in \(x\approx 0,06\) l’unico zero reale della derivata seconda, corrispondente all’unico punto di flesso del grafico.

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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