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L'esperto di matematica

Integrazione per parti

Lucia chiede aiuto in merito al calcolo dei seguenti integrali: \[\int{{{x}^{2}}\cos xdx}\quad \int{x{{3}^{x}}dx}\quad \int{\left( 2{{\ln }^{2}}x-5\ln x \right)dx}\]\[\int{\left( \ln x-{{\ln }^{2}}x \right)dx}\quad\int{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}dx}\quad \int{\left( 2x+1 \right)\arctan xdx\quad .}\]
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Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, ho delle difficoltà con questi integrali (pag.1991, nn.508, 509, 535, 536, 538, 539, Matematica.blu 2.0, vol.V): \[\int{{{x}^{2}}\cos xdx}\quad \int{x{{3}^{x}}dx}\quad \int{\left( 2{{\ln }^{2}}x-5\ln x \right)dx}\]\[\int{\left( \ln x-{{\ln }^{2}}x \right)dx}\quad \int{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}dx}\quad \int{\left( 2x+1 \right)\arctan xdx\quad .}\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Lucia, sono tutti integrali che si risolvono per parti: \[\int{{{x}^{2}}\cos xdx}={{x}^{2}}\sin x-\int{2x\sin xdx}={{x}^{2}}\sin x-2\left( -x\cos x+\int{\cos xdx} \right)=\] \[={{x}^{2}}\sin x+2x\cos x-2\sin x+c\quad .\] \[\int{x{{3}^{x}}dx}=\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}x-\frac{1}{\ln 3}\int{{{3}^{x}}dx}=\frac{{{3}^{x}}}{\ln 3}x-\frac{{{3}^{x}}}{{{\ln }^{2}}3}+c\quad .\] \[\int{\left( 2{{\ln }^{2}}x-5\ln x \right)dx}=2x{{\ln }^{2}}x-4\int{\frac{x\ln x}{x}dx}-5\int{\ln xdx}=\]\[=2x{{\ln }^{2}}x-9\int{\ln xdx}=2x{{\ln }^{2}}x-9x\ln x+9x+c\quad .\] \[\int{{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}dx}={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}-2\int{\left( x-1 \right){{e}^{x+1}}dx}={{\left( x-1 \right)}^{2}}{{e}^{x+1}}-2\left( x-1 \right){{e}^{x+1}}+2\int{{{e}^{x+1}}dx}=\]\[={{e}^{x+1}}\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)+c\quad .\] \[\int{\left( \ln x-{{\ln }^{2}}x \right)dx}=x\ln x-x-x{{\ln }^{2}}x+2\int{\ln xdx}=\]\[=x\ln x-x-x{{\ln }^{2}}x+2x\ln x-2x=3x\ln x-x{{\ln }^{2}}x-3x+c\quad .\] \[\int{\left( 2x+1 \right)\arctan xdx}=\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-\int{\frac{{{x}^{2}}+x}{1+{{x}^{2}}}dx=}\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-\int{\frac{1+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}}dx-}\int{\frac{x-1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\]\[=\left( {{x}^{2}}+x \right)\arctan x-x-\frac{1}{2}\int{\frac{2x}{1+{{x}^{2}}}dx}+\int{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx}=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\arctan x-x-\frac{1}{2}\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)+c\quad .\] Massimo Bergamini  

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