Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Volumi di solidi di rotazione

Rispondo a Lucia in merito al calcolo, tramite integrali, di alcuni volumi di solidi di rotazione.
leggi
Ricevo da Lucia la seguente domanda:   Caro professore, potrebbe aiutarmi con questi problemi? (pag.2059, nn. 327, 328, 333, 334, Matematica.blu 2.0) 1) Trova il volume del solido ottenuto ruotando di \(360^\circ\) attorno all’asse \(x\) il trapezoide definito dalla funzione \(y=\frac{x}{2-x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;1 \right]\). 2) Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\frac{1}{\cos x}\) nell’intervallo \(\left[ 0;\frac{\pi }{4} \right]\). 3) Trova il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse \(x\) del trapezoide individuato dal grafico della funzione \(y=\sqrt{\frac{x+4}{x}}\) nell’intervallo \(\left[-5;-4 \right]\). 4) Rappresenta graficamente la funzione \(y=\sqrt{{{e}^{3x}}}\) e determina il volume del solido ottenuto mediante una rotazione completa attorno all’asse \(x\), con \(x\in \left[ 0;1 \right]\).   Grazie.   Le rispondo così: Cara Lucia, ciascuno dei volumi richiesti è dato da un integrale definito del tipo \(\pi \int\limits_{a}^{b}{{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}dx}\): \[\text{1)  }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\frac{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}}dt}=\pi \left[ -\frac{4}{t}+t-4\ln t \right]_{1}^{2}=\pi \left( 3-4\ln 2 \right)\quad .\] \[\text{2)  }V=\pi \int\limits_{0}^{\pi /4}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\pi \left[ \tan x \right]_{0}^{\pi /4}=\pi \quad .\]\[\text{3)  }V=\pi \int\limits_{-5}^{-4}{\frac{x+4}{x}dx}=\pi \left[ x+4\ln \left| x \right| \right]_{-5}^{-4}=\pi \left( 1-4\ln \frac{5}{4} \right)\quad .\]\[\text{4)  }V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}dx}=\pi \left[ \frac{{{e}^{3x}}}{3} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{3}\left( {{e}^{3}}-1 \right)\quad .\] Massimo Bergamini
figura1334

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento