Un’equazione particolare

Ricevo da Lucia la seguente domanda:

 

Carissimo professore,

avrei urgentemente bisogno del suo aiuto riguardo ad un esercizio che non riesco a risolvere (pag.2082, n.25, Matematica.blu 2.0).

 

Determinare il valore del parametro \(t\) che soddisfa l’equazione  \[\int\limits_{0}^{t}{\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)dx}\quad .\]

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Lucia,

calcoliamo gli integrali coinvolti nell’equazione e ricaviamo il valore dell’incognita \(t\): \[\left[ \ln \left( 1+{{e}^{x}} \right) \right]_{0}^{t}=\left[ {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{1}\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)-\ln 2=3\to \ln \left( 1+{{e}^{t}} \right)=3+\ln 2\to \]\[\to 1+{{e}^{t}}={{e}^{3+\ln 2}}\to {{e}^{t}}=2{{e}^{3}}-1\to t=\ln \left( 2{{e}^{3}}-1 \right)\quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

Prosegui la lettura