Rette e piani nello spazio

Ricevo da Ettore la seguente domanda:

 

Salve professore,

avrei  bisogno del suo aiuto riguardo ai seguenti esercizi (n.88, pag.1112, n.93, pag.1113, Matematica.blu 2.0).

 

1) Determina il luogo dei punti equidistanti dai tre punti \(A(3;0;0)\), \(B(5;0;6)\), \(C(0;4;0)\).

 

2) Verifica se la retta \(r\) di equazioni \(\left\{ \begin{align}  & 2x-y+z-1=0 \\ & 5x+3y-8=0 \\ \end{align} \right.\)  è parallela al piano di equazione \(x-y+z+10=0\).

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Ettore,

nel primo caso, detto \(P(x;y;z)\) un generico punto del luogo da determinare, possiamo scrivere le seguenti equazioni: \[PA=PB\to {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}\]\[PA=PC\to {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}\] \[PC=PB\to {{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}={{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-6 \right)}^{2}}\] da cui:

\[x+3z-13=0\quad \wedge \quad 6x-8y+7=0\quad \wedge \quad 10x-8y+12z-45=0\quad .\] Il luogo è una retta poiché sia l’intersezione della coppia di piani \(x+3z-13=0\ \wedge \ 6x-8y+7=0\), sia l’intersezione della coppia \(6x-8y+7=0\ \wedge \ 10x-8y+12z-45=0\), sia l’intersezione della coppia \(x+3z-13=0\ \wedge \ 10x-8y+12z-45=0\), sono tutte equivalenti.

Nel secondo caso, basta controllare se il vettore direttivo del piano sia o meno perpendicolare al vettore direttivo della retta, condizione necessaria e sufficiente affinchè piano e retta siano paralleli, salvo che la retta non sia appartenente al piano stessa, cosa subito esclusa poiché è possibile trovare  un punto della retta che non appartiene al piano: riscritta la retta in modo parametrico        \[\left\{ \begin{align}  & x=t \\ & y=-\frac{5}{3}t+\frac{8}{3} \\ & z=-\frac{11}{3}t+\frac{11}{3} \\ \end{align} \right.\] si vede che il punto \((1;1;0)\) appartiene alla retta ma non al piano. Il vettore direttivo della retta è \(\vec{v}\left( 1,-\frac{5}{3},-\frac{11}{3} \right)\), quello del piano è \(\vec{w}\left( 1,-1,1 \right)\) e \(\vec{v}\cdot \vec{w}\ne 0\), cioè i vettori non sono perpendicolari: retta e piano non sono paralleli, infatti hanno in comune il punto \(P\) che si ottiene risolvendo la seguente: \[t+\frac{5}{3}t-\frac{8}{3}-\frac{11}{3}t+\frac{11}{3}+10=0\to t=11\to P\left( 11;-\frac{47}{3};-\frac{110}{3} \right)\ .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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