Solidi di rotazione

Ricevo da Elisa la seguente domanda:

 

Professore,

mi aiuti a risolvere questo quesito.

 

Data la parabola \(y=4-x^2\), considera la regione di piano \(S\) del primo quadrante compresa tra la parabola e gli assi coordinati. Determina il volume del solido generato dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo  intorno alla retta \(y=5\), e dalla rotazione della regione \(S\) di un giro completo attorno alla retta di equazione  \(x=2\).

 

Grazie.

 

Le rispondo così:

 

Cara Elisa,

nel primo caso possiamo trovare il volume \(V_1\) richiesto come differenza tra il volume del cilindro che si ottiene ruotando intorno a \(y=5\) il rettangolo \(R_1\) di dimensioni \(5\) e \(2\) in cui è inscritta \(S\) e il volume del solido che si ottiene ruotando intorno a \(y=5\) la regione \(R_1-S\): quest’ultimo è lo stesso che si otterebbe ruotando intorno all’asse \(x\) il sottografico della funzione \(y=-1-x^2\), ottenuta per traslazione di \(5\) unità in direzione \(-y\):

\[{{V}_{1}}=50\pi -\pi \int\limits_{0}^{2}{{{\left( -1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx=}\]\[=50\pi -\pi \left[ \frac{1}{5}{{x}^{5}}+\frac{2}{3}{{x}^{3}}+x \right]_{0}^{2}=50\pi -\frac{206}{15}\pi =\frac{544}{15}\pi \quad .\]

Nel secondo caso, in modo analogo possiamo ricavare il volume richiesto \(V_2\) sottraendo al cilindro ottenuto per rotazione del rettangolo \(R_2\) di dimensioni \(2\) e \(4\) intorno a \(x=2\) il volume del solido che si ottiene ruotando la regione \(R_2-S\) intorno allo stesso asse, o altrimenti ruotando intorno all’asse \(y\) il sottografico della funzione inversa della restrizione all’intervallo \(\left[ -2,0 \right]\) della funzione \(y=-x^2-4x\), traslata di \(2\) unità in direzione \(-x\) di \(y=4-x^2\), cioè \(x=-2+\sqrt{4-y}\): \[{{V}_{2}}=16\pi -\pi \int\limits_{0}^{4}{{{\left( -2+\sqrt{4-y} \right)}^{2}}dy}=\]\[=16\pi -\pi \int\limits_{0}^{4}{\left( 8-y-4\sqrt{4-y} \right)dy}=\]\[=16\pi -\pi \left[ 8y-\frac{1}{2}{{y}^{2}}+\frac{8}{3}{{\left( 4-y \right)}^{\frac{3}{2}}} \right]_{0}^{4}=\frac{40}{3}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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