Aula di Scienze

Aula di Scienze

Persone, storie e dati per capire il mondo

Speciali di Scienze
Materie
Biologia
Chimica
Fisica
Matematica
Scienze della Terra
Tecnologia
I blog
Sezioni
Come te lo spiego
Science News
Podcast
Interviste
Video
Animazioni
L'esperto di matematica
L'esperto di fisica
L'esperto di chimica
Chi siamo
Cerca
L'esperto di matematica

Solido di rotazione

Elisa propone il seguente quesito: Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta \(y=2\) della parte di piano delimitata dalla funzione \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\) e dalla retta \(y=4\).
leggi
Ricevo da Elisa la seguente domanda:   Caro Professore, ho un dubbio su questo quesito:   Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno alla retta \(y=2\) della parte di piano delimitata dalla funzione \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+1}{x}\) e dalla retta \(y=4\).   Grazie.   Le rispondo così:   Cara Elisa, per prima cosa operiamo una traslazione di \(2\) unità in direzione delle \(y\) negative, ottenendo la funzione traslata \(f(x)=\frac{{{(x-1)}^{2}}}{x}\), che incontra la retta \(y=2\) nei punti di ascissa \(x=2-\sqrt{3}\) e \(x=2+\sqrt{3}\), e quindi operiamo la rotazione rispetto all’asse delle \(x\). Il volume \(V\) del solido in questione si ottiene per sottrazione dal volume del cilindro generato dalla rotazione del rettangolo in cui è inscritta la regione: \[V=8\sqrt{3}\pi -\pi \int\limits_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}{\frac{{{\left( x-1 \right)}^{4}}}{{{x}^{2}}}}dx=\]\[=8\sqrt{3}\pi -\pi \left[ \frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+13x+3 \right)}{3x}-4\ln x \right]_{2-\sqrt{3}}^{2+\sqrt{3}}=\]\[=8\sqrt{3}\pi -8\sqrt{3}\pi -8\pi \ln \left( 2-\sqrt{3} \right)\approx 33,1\quad .\]   Massimo Bergamini
figura1339

Devi completare il CAPTCHA per poter pubblicare il tuo commento