Lunghezza di una curva

Ricevo da Andrea la seguente domanda:

 

Buongiorno,
mi sono imbattuto in questo esercizio ma non sono riuscito a risolvere l’integrale:

 

Calcolare la lunghezza della curva \(y=5\sqrt{1-\frac{{{x}^{2}}}{25}}\) nell’intervallo \(\left[ 0;5 \right]\).

 

Grazie.

 

Gli rispondo così:

 

Caro Andrea,

posto che l’elemento d’arco \(ds\) per una curva derivabile è \(ds=\sqrt{1+y’^{2}}dx\), nel nostro caso si ha:

\[y’=-\frac{x}{\sqrt{25-{{x}^{2}}}}\to ds=\sqrt{1+\frac{{{x}^{2}}}{25-{{x}^{2}}}}\ dx=\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{5} \right)}^{2}}}\ }dx\] per cui la lunghezza dell’arco in questione è data dal seguente integrale: \[L=\int\limits_{0}^{5}{\frac{1}{\sqrt{1-{{\left( x/5 \right)}^{2}}}\ }dx}=5\int\limits_{0}^{5}{\frac{1/5}{\sqrt{1-{{\left( x/5 \right)}^{2}}}\ }dx}=5\left[ \arcsin \left( \frac{x}{5} \right) \right]_{0}^{5}=5\arcsin \left( 1 \right)=\frac{5}{2}\pi \quad .\]

Massimo Bergamini

Per la lezione

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