Riuscite a immaginare il Pi greco e le sue interminabili cifre decimali non periodiche? Non è semplice. È lo sforzo vano della mente nel tentativo di rappresentare l’infinito. Per secoli i matematici hanno sperato di trovare una definizione finita per questa costante, rapporto tra la lunghezza e il diametro di una circonferenza, e di ottenerla come frazione tra numeri interi o, equivalentemente, di trovare una periodicità nelle sue cifre. Ma Lambert, nel 1760, chiude a ogni speranza e dimostra che Pi greco è irrazionale. Non possiamo sperare di contenerlo nello spazio del finito e dell’umano. Così come non possiamo trovarlo sotto forma di radicale o di soluzione di un'equazione algebrica.  È quanto scopre Lindemann nel 1882 siglando l'impossibilità di ottenere la quadratura del cerchio con i metodi classici di costruzione con riga e compasso.

Nell'ipotesi che le infinite cifre decimali di Pi greco siano del tutto casuali o aleatorie, siamo potenzialmente in grado di trovare ogni specifica sequenza di cifre al suo interno. La nostra data di nascita o il nostro codice postale e, convertendo le lettere nelle loro posizioni all'interno dell'alfabeto, il nostro nome, la nostra poesia preferita, o la parola "amore" in inglese,  data dalle cifre "12-15-22-5", che appare per la prima volta alla cifra 13.099.586 e infinite volte dopo.

C'è una relazione tra Pi greco e l’insieme frattale di Mandelbrot?

Nel 1991 David Bool scopre una relazione fino allora impensabile tra il Pi greco e l’insieme di Mandelbrot. Si tratta più di una verifica informatica che di una vera e propria dimostrazione, ma resta comunque un elemento di grande fascino.

L'insieme di Mandelbrot, immagine simbolo della teoria dei frattali, è costruito all'interno del piano complesso di Argand - Gauss. Per rappresentarlo si procede costruendo per ogni punto w = a+ib, di coordinate (a, b), una successione di valori iterati: z₁= w, z_n+1=z_n²+ w

Sviluppando i calcoli, può succedere che dopo un certo numero di iterazioni il punto ottenuto esca dal contorno stabilito della figura (il cerchio critico con centro nell'origine e raggio 2). In tal caso il punto viene segnato di nero (o del colore associato al numero di iterazioni di uscita) e contribuisce al disegno dell'insieme di Mandelbrot. Diversamente se dopo un numero limite prefissato di iterazioni il punto non "esce" dal cerchio critico, lo si lascia bianco e non contribuisce al disegno.

Vediamo ora cosa succede se il valore considerato si trova nel punto che abbiamo indicato con A, all’estremo orizzontale o "collo" dell’insieme di Mandelbrot. Tale punto ha coordinate (0,25, 0). Più ci allontaniamo dal punto, più sarà rapida la sua evasione dal cerchio; ma più ci avviciniamo ad A, più ci aspettiamo che il numero di iterazioni richieste perché il punto esca dal cerchio critico si facciano alte. Sviluppando i calcoli per i punti sull'asse orizzontale in prossimità di A troviamo la seguente tabella di valori:

Il numero di iterazioni di "evasione" dal cerchio critico, inserendo una virgola dopo la prima cifra 3, converge molto lentamente al valore di Pi greco! E questo, come nota Boll, avviene anche per un altro punto 'di confine' dell'insieme di Mandelbrot, quello di coordinate (-0,75, 0). Riuscite a trovarlo nella figura?

Come si usano i polinomi di Taylor per il calcolo di Pi greco?

La formule matematiche usate per calcolare Pi greco sono state tante nella storia della matematica e qui trovate un elenco completo.  Alcune di queste appaiono inefficaci perché "convergenti molto lentamente", altre sono sorprendenti, come la recente formula BBP (dal nome degli ideatori Bailey-Borwein-Plouffe), di fatto un algoritmo di "estrazione", che permette di trovare una cifra di Pi greco (in rappresentazione binaria o esadecimale) senza conoscere quelle precedenti.

Ma le formule più belle restano quelle legate alla rappresentazione delle funzioni goniometriche attraverso i polinomi di Taylor. Questi permettono di approssimare "localmente" una funzione in un punto attraverso un polinomio che abbia gli stessi valori della funzione e delle sue derivate successive nel punto.

Nel nostro caso possiamo considerare lo sviluppo in serie di Taylor di artang(x) e calcolarne il valore in 1 per ottenere pi/4. Provate a spostare il punto nero dello slider k per visualizzare come varia il polinomio al variare di k!

In realtà la formula:

era stata trovata anni prima dell'ideazione dei polinomi di Taylor da Gregory, che la scrisse partendo dalla serie geometrica, sostituendo x² al posto di -q e integrando.

Che cosa ha a che fare Pi greco con la poesia o la letteratura?

Intorno al Pi greco sono state scritte molte poesie, spesso finalizzate alla memorizzazione delle cifre del numero. Altre volte al Pi greco sono stati dedicati brevi brani letterari come quello che riportiamo qui sotto, tratto da Il Pendolo di Foucalt di Umberto Eco.

«Io sapevo - ma chiunque avrebbe dovuto avvertire nell’incanto di quel placido respiro - che il periodo [del pendolo n.d.r.] era regolato dal rapporto tra la radice quadrata della lunghezza del filo e quel numero Pi-greco che, irrazionale alle menti sublunari, per divina ragione, lega necessariamente la circonferenza al diametro di tutti i possibili cerchi – così che il tempo di quel vagare di una sfera dall’uno all’altro polo era effetto di una arcana cospirazione tra le più intemporali delle misure, l’unità del punto di sospensione, la dualità di una astratta dimensione, la natura ternaria di Pi greco, il tetragono segreto della radice, la perfezione del cerchio».

Tra immagini, musica, insiemi frattali, polinomi, formule e parole d'autore... Riuscite ora a immaginare il Pi greco?

immagine di copertina: shutterstock / igordabari